299
CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.
variables nouvelles
et
l’expression
![{\displaystyle d\mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}+{\textstyle \sum }\,x_{i}'\,dy_{i}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbbf1e811a5bb297b660b527179e4bbf4dedeafd)
et par conséquent la suivante
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,(x_{i}\,dy_{i}-x_{i}'\,dy_{i}')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e72980d2442c5b07d21a5bc13b1880d0db7be0)
seront des différentielles exactes.
D’autre part, les
et les
seront des fonctions périodiques
des
Enfin il viendra
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}=+hx_{1}'-\lambda ^{2}x_{2}'-\lambda ^{3}x_{3}'-\ldots -\lambda ^{n}x_{n}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ee4603ab7258f9d3b60e57f7388ff6a45e1e1d)
Si donc nous prenons pour variables nouvelles les
et les
la
forme canonique des équations (7) ne sera pas altérée et elles
pourront s’écrire
(10)
|
|
|
D’ailleurs
sera périodique par rapport aux
et, pour
ne dépendra que des
Nous serons donc dans les conditions des nos 125 et 127 et nous
pourrons conclure que les
et les
et par conséquent les
et
les
pourront s’exprimer formellement en fonctions de
de
constantes arbitraires et de
variables
de telle façon que les
fonctions
soient développables suivant les
puissances de
et périodiques par rapport aux
ils seront de la
forme
![{\displaystyle w_{k}=n_{k}t+\varpi _{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca0d66294b47e6f04d5f4db61b2abda6fab8ee73)
les
étant de nouvelles constantes d’intégration, et les
des
constantes développables suivant les puissances de ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
Il est d’ailleurs aisé de voir que, dans le cas particulier qui nous
occupe, on a pour
![{\displaystyle n_{k}=\lambda _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddbd5f2d22c85303b4d03a0ef32a675ce5f63976)
Pour satisfaire non seulement aux équations (7), mais à l’équa-