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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

Une fois $\mathrm {S} _{1}$ déterminé,, la quatrième équation (4) nous fera connaître $\mathrm {S} _{2},$ la cinquième $\mathrm {S} _{3}$ et ainsi de suite.

La solution est entièrement satisfaisante dans le premier cas, celui où $\mathrm {S} _{1}$ est toujours réel. Mais, dans le cas contraire, il importe de faire attention à une chose.

Les valeurs de $y_{1}$ pour lesquelles les diverses fonctions $\mathrm {S} _{1}$ $\mathrm {S} _{2},$ $\mathrm {S} _{3},,\,\ldots$ passent du réel à l’imaginaire sont données par l’équation

$\mathrm {C} _{2}=\mathrm {F} _{1}\left(x_{1}^{0},y_{1}\right).$

On pourrait croire alors que c’est pour ces mêmes valeurs que $\mathrm {S}$ passe du réel à l’imaginaire. Cela n’est pas exact ; les valeurs pour lesquelles $\mathrm {S}$ passe du réel à l’imaginaire sont données par les équations

${\begin{aligned}\mathrm {F} &=\mathrm {C} _{0}+\mathrm {C} _{2}\,\mu +\mathrm {C} _{3}\,\mu \,{\sqrt {\mu }}+\ldots ,&{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}&=0.\end{aligned}}$

Elles sont à la vérité fort voisines des premières si $\mu$ est très petit, mais elles ne leur sont pas identiques.

Pour tourner cette difficulté, il y a plusieurs moyens. On peut, par exemple, puisque $\mathrm {C} _{2},$ $\mathrm {C} _{3},\,\ldots$ sont arbitraires, faire $\mathrm {C} _{3}=0$ ainsi que tous les autres $\mathrm {C}$ d’indice impair.

Nous calculerons ensuite successivement

$\mathrm {S} _{1},\quad \mathrm {S} _{2},\quad \mathrm {S} _{3},\quad \ldots ,$

et nous aurons

${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}+{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\,{\sqrt {\mu }}+{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}}\,\mu +{\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{1}}}\,\mu \,{\sqrt {\mu }}+\ldots ;$

Comme rien ne distingue ${\sqrt {\mu }}$ de $-{\sqrt {\mu }},$ nous aurons encore une solution en faisant

${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}-{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\,{\sqrt {\mu }}+{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}}\,\mu -{\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{1}}}\,\mu \,{\sqrt {\mu }}+\ldots ;$

ces deux solutions sont ou toutes deux réelles ou imaginaires conjuguées. Il en résulte que

$\mathrm {S} _{0},\quad \mathrm {S} _{2},\quad \mathrm {S} _{4},\quad \ldots$

sont toujours réels.