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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

Pour nous en rendre compte, posons

${\begin{aligned}x_{1}&=\alpha +x',&y_{1}&=\beta +y',\end{aligned}}$

$\mathrm {F} (x_{1},y_{1})=\mathrm {F} (\alpha ,\beta )+\mathrm {F} '$

et envisageons l’équation

$\mathrm {F} '(x',y')=0\,;$

elle est de même forme que l’équation (2) ; nous pouvons donc la traiter de la même manière, c’est-à-dire poser

$x'={\frac {d\mathrm {S} _{0}'}{dy'}}+{\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}'}{dy'}}+\ldots$

et déterminer les fonctions ${\frac {d\mathrm {S} _{p}'}{dy'}}$ par des équations (4 bis) analogues aux équations (4), et qui n’en différeront que parce que les lettres seront accentuées ; seulement les constantes $\mathrm {C} _{p}$ seront toutes nulles, et pour

$x'=y'=0$

on aura

$\mathrm {F} '={\frac {d\mathrm {F} '}{dx'}}={\frac {d\mathrm {F} '}{dy'}}=0.$

Donc, si l’on regarde $\mathrm {F} '$ comme développé suivant les puissances de $x'$ et $y',$ le développement commencera par des termes du second degré en $x'$ et $y',$ et cela quel que soit $\mu .$ Le développement de $\mathrm {F} _{0}',$ $\mathrm {F} _{1}',\,\ldots$ commencera donc aussi par des termes du second degré. Il résulte de là que, si l’on considère les fonctions $\Phi$ qui figurent dans le second membre des équations (4 bis) comme développées dans le voisinage de $y'=$ 0, suivant les puissances de $y'$ et des ${\frac {d\mathrm {S} _{p}'}{dy'}},$ le développement commencera toujours par des termes du second degré.

On voit d’abord que ${\frac {d\mathrm {S} _{1}'}{dy'}}$ s’annule pour $y'=0\,;$ on pourrait donc craindre que ${\frac {d\mathrm {S} _{p}'}{dy'}}$ ne devienne infini pour $y'=0\,;$ mais, loin de là, je dis que, pour cette valeur de $y',$ ${\frac {d\mathrm {S} '_{p}}{dy'}}$ est nul.