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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

Méthode de M. Bohlin.

204.L’inconvénient de la méthode de Delaunay, c’est d’exiger de nombreux changements de variables. Cet inconvénient peut être évité grâce à un procédé découvert par M. Bohlin et que j’ai proposé de mon côté, mais quelques jours après lui.

Reprenons nos équations générales

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\end{aligned}}$

et supposons que l’expression

$m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}$

soit très petite.

Il s’agit d’intégrer l’équation

(2)

$\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}},\,{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{n}}},\,y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n}\right)=\mathrm {C} .$

Posons

${\begin{alignedat}{5}\mathrm {S} &=\mathrm {S} _{0}&{}+&{}\mathrm {S} _{1}{\sqrt {\mu }}&{}+&{}\mathrm {S} _{2}\,\mu &{}+&{}\mathrm {S} _{3}\mu {\sqrt {\mu }}+\ldots ,\\\mathrm {C} &=\mathrm {C} _{0}&{}+&{}\mathrm {C} _{2}\,\mu &{}+&{}\mathrm {C} _{4}\,\mu ^{2}&{}+&{}\ldots .\end{alignedat}}$

Substituons ces valeurs dans l’équation (2), ordonnons suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ et égalons les coefficients des puissances semblables de ${\sqrt {\mu }}\,;$ il viendra

(3)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {F} _{0}\left({\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}},{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{2}}},\ldots ,{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{n}}}\right)&=\mathrm {C} _{0},\\\sum {\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}}&=0,\\\sum {\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{i}}}+{\tfrac {1}{2}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{k}}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{k}}}&=\Phi +\mathrm {C} _{2},\\\sum {\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}{\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{i}}}+{\tfrac {1}{2}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{k}}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}}{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{k}}}&=\Phi ,\\\sum {\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}{\frac {d\mathrm {S} _{4}}{dy_{i}}}+{\tfrac {1}{2}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{k}}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}}{\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{k}}}&=\Phi +\mathrm {C} _{4},\\.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$