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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

seconde s’écrit

(5)

${\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}}=0,$

et elle ne peut être satisfaite que si les ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}}$ sont fonctions seulement de $m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n}.$ Car si $\mathrm {S} _{1}$ contenait, par exemple, un terme

$\mathrm {A} \cos(p_{1}y_{1}+\ldots +p_{n}y_{n}),$

le premier membre de (5) contiendrait un terme

$-\mathrm {A} (p_{1}n_{1}^{0}+\ldots +p_{n}n_{n}^{0})\sin(p_{1}y_{1}+\ldots +p_{n}y_{n}),$

qui ne pourrait disparaître que si l’on avait

${\frac {p_{1}}{m_{1}}}={\frac {p_{2}}{m_{2}}}=\ldots ={\frac {p_{n}}{m_{n}}}\cdot$

On aura donc

$\mathrm {S} _{1}=\alpha _{1}y_{1}+\alpha _{2}y_{2}+\ldots +\alpha _{n}y_{n}+f(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n}),$

la dérivée de $f$ étant périodique.

Passons à la troisième équation (3), et égalons dans les deux membres de cette équation les termes qui dépendent des sinus et des cosinus des multiples de

$m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n}.$

Le premier terme du premier membre, qui peut s’écrire

$-{\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{i}}},$

ne contiendra pas de pareils termes ; car si $\mathrm {S} _{2}$ contenait un terme

$\mathrm {A} \cos(p_{1}y_{1}+\ldots +p_{n}y_{n}),$

où

${\frac {p_{1}}{m_{1}}}={\frac {p_{2}}{m_{2}}}=\ldots ={\frac {p_{n}}{m_{n}}},$

le terme correspondant de l’expression

$-{\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{i}}}$