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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

avait

${\begin{aligned}\mathrm {A} &=1,&{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}&=\cos y_{1},\end{aligned}}$

de sorte que notre troisième équation (16) s’écrivait

$y_{1}'={\frac {\sqrt {\mu }}{2}}\int {\frac {dy_{1}}{\sqrt {\mathrm {C} _{2}-\cos y_{1}}}}\cdot$

L’intégrale du second membre est une intégrale elliptique et par conséquent $\cos y_{1}$ et $\sin y_{1}$ sont des fonctions doublement périodiques de $y_{1}'.$ Mais deux cas sont à distinguer suivant que

$\mathrm {C} _{2}>1$ou$\mathrm {C} _{2}<1.$

Si $\mathrm {C} _{2}>1$ la période réelle est égale à

${\frac {\sqrt {\mu }}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {dy_{1}}{\sqrt {\mathrm {C} _{2}-\cos y_{1}}}},$

et si

$\mathrm {C} _{2}=\cos \alpha <1$

la période réelle est égale à

${\sqrt {\mu }}\int _{-\alpha }^{+\alpha }{\frac {dy_{1}}{\sqrt {\mathrm {C} _{2}-\cos y_{1}}}}\cdot$

Dans ce cas particulier d’ailleurs, $y_{1}$ est une fonction uniforme de $y_{1}'$ pour les valeurs imaginaires aussi bien que pour les valeurs réelles de $y_{1}'.$ Mais, dans le cas général, $y_{1}$ est fonction uniforme de $y_{1}'$ pour les valeurs réelles seulement et, d’autre part, $\cos y_{1}$ et $\sin y_{1}$ admettent une période réelle qui est

${\frac {\sqrt {\mu }}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {dy_{1}}{\sqrt {x_{1}'-\psi }}}$

si $x_{1}'$ est supérieur au maximum de ${\big [}\psi {\big ]}$ ;

${\sqrt {\mu }}\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {dy_{1}}{\sqrt {x_{1}'-\psi }}}$

si $x_{1}'$ est inférieur à ce maximum et si $x_{1}'-\psi$ s’annule pour $y_{1}=\alpha$ et pour $y_{1}=\beta$ et reste positif pour $\alpha <y_{1}<\beta .$ J’ajouterai que