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CHAPITRE XIX.

changement de variables. Si nous faisons

(18)

${\begin{aligned}u_{1}&=\int {\frac {\mathrm {P} \,dx_{1}'}{2\pi }},&v_{1}&={\frac {2\pi z_{1}}{\mathrm {P} }}\end{aligned}}$

les équations restent canoniques et s’écrivent

(19)

$\;\left\{{\begin{aligned}{\frac {du_{1}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{dv_{1}}},&{\frac {dv_{1}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{du_{1}}},\\{\frac {dx_{i}'}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{dz_{i}}},&{\frac {dz_{1}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{dx_{1}'}}\qquad (i=2,\,3,\,\ldots ,\,n),\end{aligned}}\right.$

et cette fois $\mathrm {F} ^{\star }$ est périodique de période $2\pi$ par rapport à

$v_{1},\quad z_{2},\quad z_{3},\quad \ldots ,\quad z_{n}.$

2^o Si l’on fait $\mu =0,$ $\mathrm {F} ^{\star }$ se réduit à $\mathrm {C} _{1},$ et $\mathrm {C} _{1}$ ne dépend pas de toutes les variables de la première série, mais seulement de

$x_{2}',\quad x_{3}',\quad \ldots ,\quad x_{n}',$

car $n_{i}^{0}$ est nul. Nous ne sommes donc pas dans les conditions du n^o 125, mais dans celles du n^o 134 ; nous allons voir que les conclusions de ce numéro sont applicables.

En effet, la fonction qui correspond à celle que nous avons appelée $\mathrm {R}$ dans ce n^o 134, c’est ici $\mathrm {C} _{2}\,;$ et il est aisé de voir que $\mathrm {C} _{2}$ dépend de $x_{1}'$ et par conséquent de $u_{1}$ et ne dépend que des variables de la première série.

Les conditions pour que le théorème du n^o 134 soit vrai sont donc remplies et nous devons conclure qu’il existe $n$ fonctions

$u_{1},\quad x_{2}',\quad x_{3}',\quad \ldots ,\quad x_{n}'$

qui dépendent de $n$ variables

$u_{1},\quad z_{2},\quad z_{3},\quad \ldots ,\quad z_{n}$

et de $n$ constantes arbitraires et qui satisfont aux conditions suivantes :

1^o Quand on les substitue dans $\mathrm {F} ^{\star },$ cette fonction se réduit à une constante.