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MÉTHODES DE M. BOHLIN.
pour la première série ou
(39)
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pour la seconde.
et
sont des constantes arbitraires.
Si entre les équations (38) on élimine
et
puis qu’on résolve
par rapport à
et
on obtiendra les équations (37) et l’on
obtiendra encore le même résultat
le signe du radical
étant seul changé
si l’on élimine
et
entre les équations (39).
Il peut être intéressant de comparer la démonstration qui précède
celles que j’avais données dans le Tome XIII des
Acta mathematica, p. 211 à 216 d’une part, 217 à 219 d’autre part.
209.Occupons-nous d’étendre cette démonstration au cas où
il y a plus de deux degrés de liberté et, pour cela, cherchons
d’abord à généraliser la notion qui nous a servi de point de départ,
c’est-à-dire celle de la solution périodique (30).
Cherchons donc
fonctions des
variables
![{\displaystyle y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f050a4cb65b10c2ccf0b5ff8ceb78c462ba7033d)
fonctions que j’appellerai
![{\displaystyle \eta ,\quad \zeta ,\quad \xi _{2},\quad \xi _{3},\quad \ldots ,\quad \xi _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a5348671a0c179ff0413967831e6244f732d729)
et qui seront telles que les relations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\eta ,&y_{1}&=\zeta ,&x_{i}&=\xi _{i}\quad (i>1)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31130a7150c2bbbaaa0f238c201cd1b98ccafca8)
soient des relations invariantes au sens donné à ce mot au no 19.
Cela entraîne les conditions suivantes
(40)
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Inutile d’ajouter que, dans les dérivées de
et les
sont
supposés remplacés par
et les ![{\displaystyle \xi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590fd98954ba468f505f262c67f06f0337ec4e48)