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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

est nulle, équation d’où l’on tire aisément

$\eta _{1}-{\big [}\eta _{1}{\big ]}.$

Égalons maintenant les coefficients $\mu$ dans l’équation (42) en tenant compte des équations (41), qui nous donnent

$\xi _{i}^{1}={\frac {d\theta _{1}}{dy_{i}}}-\eta _{1}\,{\frac {d\zeta _{0}}{dy_{i}}}={\frac {d\theta _{1}}{dy_{i}}}\,;$

nous trouverons

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {d\theta _{1}}{dy_{k}}}=\Phi -\mathrm {C} _{1}.$

$\Phi$ est une fonction périodique connue dont la valeur moyenne n’a pas besoin d’être nulle, puisque nous n’avons pas assujetti $\theta _{1},$ mais seulement ses dérivées, à être périodiques. Cette équation nous donnera $\theta _{1}$ qui dépendra de $n-1$ constantes que nous pourrons choisir arbitrairement.

Égalons les coefficients de $\mu$ dans la troisième équation (40), il viendra

(44)

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {d\zeta _{1}}{dy_{k}}}=\Phi -{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{2}}}\,\eta _{1}.$

La valeur moyenne du second membre doit être nulle, d’où

${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{2}}}{\big [}\eta _{1}{\big ]}={\big [}\Phi {\big ]},$

ce qui nous donne ${\big [}\eta _{1}{\big ]}$ et l’équation (44) nous donne ensuite

$\zeta _{1}-{\big [}\zeta _{1}{\big ]}.$

Continuons de la même manière et supposons que l’on ait trouvé

${\begin{array}{c}\eta _{0},\quad \eta _{1},\quad \ldots ,\quad \eta _{p-1},\quad \theta _{0},\quad \theta _{1},\quad \ldots ,\quad \theta _{p-1},\\\zeta _{0},\quad \zeta _{1},\quad \ldots ,\,\zeta _{p-2},\quad \zeta _{p-1}-{\big [}\zeta _{p-1}{\big ]},\end{array}}$

et qu’on se propose de trouver

$\eta _{p},\quad \theta _{p},$et$\zeta _{p-1},\quad \zeta _{p}-{\big [}\zeta _{p}{\big ]}.$

Égalons d’abord les coefficients de $\mu ^{p}$ dans la troisième équa-