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SÉRIES DE M. BOHLIN.

On aura d’ailleurs

$w_{i}=n_{i}v+\varpi _{i},$

les $\varpi _{i}$ étant des constantes d’intégration et les $n_{i}$ étant développables suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$

Le premier terme du développement de $n_{i}$ est $n_{i}^{0}$ et comme $n_{1}^{0}$ est nul, le développement de $n_{1}$ commence par un terme en ${\sqrt {\mu }}.$

Toutes ces séries se déduisent de la fonction $\mathrm {V}$ définie au n^o 206.

Cette fonction $\mathrm {V}$ dépend elle-même des variables de la deuxième série

$v_{1},\quad z_{1},\quad z_{2},\quad \ldots ,\quad z_{n},$

et en outre de $n$ constantes d’intégration

$\lambda _{1},\quad \lambda _{2},\quad \lambda _{3},\quad \ldots ,\quad \lambda _{n},$

et cela de telle sorte que

$\mathrm {V} -\lambda _{1}v_{1}-\lambda _{2}z_{2}-\lambda _{3}z_{3}-\ldots -\lambda _{n}z_{n},$

soit une fonction périodique de $v_{1}$ et des $z_{k}.$

On trouvera ensuite les variables $u_{1},$ $v_{1},$ $x_{k}'$ et $z_{k}$ en fonctions des $\lambda$ et des $w$ à l’aide des équations

(4)

${\begin{aligned}u_{1}&={\frac {d\mathrm {V} }{dv_{1}}},&x_{k}'&={\frac {d\mathrm {V} }{dz_{k}}},&w_{i}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\lambda _{i}}}\cdot \end{aligned}}$

La manière de déduire les équations (4) des équations (2) du numéro précédent est assez compliquée pour que j’y insiste un peu.

Nous avons

$d\mathrm {V} =u_{1}\,dv_{1}+{\textstyle \sum }\,x_{k}'\,dz_{k}+{\textstyle \sum }\,w_{i}\,d\lambda _{1}.$

Il demeure convenu que l’indice $k$ varie de 2 à $n$ et l’indice $i$ de 1 à $n.$

D’autre part,

$d\mathrm {T} ={\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}+{\sqrt {\mu }}\,{\textstyle \sum }\,z_{i}\,dx_{i}'$

et

$v_{1}\,du_{1}=z_{1}\,dx_{1}',$

d’où

$d\mathrm {T} ={\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}+{\sqrt {\mu }}\,{\textstyle \sum }\,z_{k}\,dx_{k}'+{\sqrt {\mu }}\,v_{1}\,du_{1}.$