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CHAPITRE XX.
Si alors l’on regarde
et
comme des fonctions de
et de
ou de
et de
ces fonctions sont uniformes
et doublement périodiques pourvu qu’on ne sorte pas du domaine
l’une des périodes est égale à l’intégrale du second
membre (1 ter) prise entre 0 et
et l’autre à deux fois cette
même intégrale prise entre deux valeurs de
qui rendent
égal à
Cela suffit pour que les circonstances du passage du cas ordinaire
à celui de la libration soient les mêmes que dans le cas particulier
que nous avons étudié d’abord.
Pour étendre plus facilement ces résultats au cas général, il
peut y avoir lieu d’introduire le moyen mouvement
que j’appellerai
ici simplement
puisque j’ai supprimé partout l’indice 1
devenu inutile.
Il vient alors, d’après les principes du no 3,
![{\displaystyle n={\frac {1}{\theta }}={\frac {2\pi }{\omega _{1}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/424e47d36c18aa22eea760cab46546990c20902a)
D’autre part, si l’on développe
suivant les puissances de
comme nous l’avons fait dans ce qui précède, de telle sorte que
![{\displaystyle n=n^{0}+\mu \,n^{1}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b011772f5d2aa6771693a4684bd27342d1439b25)
il viendra, pour ![{\displaystyle \mu =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d191c285311dcd60a77e9791d186aa2ca575dec)
![{\displaystyle \omega _{1}=\int {\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {C} }}}={\frac {2\pi }{\sqrt {\mathrm {C} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1e1f5bd76f54cb7725ccfb1c2ce80ee223ff05)
d’où
![{\displaystyle n^{0}\Phi ={\sqrt {\mathrm {C} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd0f07600ed6134a926e8d64eab60f0033f5cc00)
Nous pouvons donc prendre pour variables
et
au lieu de
et
Alors les séries (2) procéderont suivant les puissances de
et
de
ce qui les rend analogues aux séries envisagées au no 201,
qui contenaient des termes en
![{\displaystyle {\frac {\mu ^{p}}{(n_{1}^{0})^{q}}}\quad (q\leqq 2p-1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ec1bdb524f1247533912da26a2debdfb824651)
Passons enfin au cas général.