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CHAPITRE IX.

Les équations (13) se réduisent alors à

(14)

${\begin{aligned}{\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {dx_{i}^{p}}{dw_{k}}}&=\mathrm {X} _{i}^{p}+\mathrm {Z} _{i}^{p},&{\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{p}}{dw_{k}}}&=\mathrm {Y} _{i}^{p}+\mathrm {T} _{i}^{p}-n_{i}^{p}.\end{aligned}}$

Voyons comment on peut se servir des équations (14) pour déterminer par récurrence les fonctions

$x_{i}^{p}\quad \mathrm {et} \quad y_{i}^{p},$

de façon que ces fonctions soient périodiques par rapport aux $w$ et que leurs valeurs moyennes soient telles fonctions que nous voulons des $x_{k}^{0}.$

Nous avons vu dans les deux numéros précédents que cette détermination est possible.

Supposons que l’on ait calculé

(15)

$x_{i}^{1},\quad x_{i}^{2},\quad \ldots ,\quad x_{i}^{p-1},\quad y_{i}^{1},\quad y_{i}^{2},\quad \ldots ,\quad y_{i}^{p-1},$

et que l’on se propose de calculer à l’aide des équations (14) $x_{i}^{p}$ et $y_{i}^{p}.$

Comme $\mathrm {X} _{i}^{p}$ et $\mathrm {Z} _{i}^{p}$ ne dépendent que des variables (15), le second membre de la première équation (14) est une fonction connue des $w,$ périodique par rapport à ces variables.

Soit

$\mathrm {X} _{i}^{p}+\mathrm {Z} _{i}^{p}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \cos(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+h)$

cette fonction, nous en déduirons, en intégrant l’équation (14),

$x_{i}^{p}=\sum {\frac {\mathrm {A} \sin(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+h)}{m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}}}+\mathrm {K} _{i}^{p}.$

Ainsi $x_{i}^{p}$ est une fonction périodique des $w\,;$ il n’y aurait d’exception que dans deux cas : si les $n_{i}^{0}$ satisfaisaient à une relation linéaire à coefficients entiers

${\textstyle \sum }\,m_{i}n_{i}^{0}=0,$

mais nous avons supposé le contraire ; ou bien si la fonction périodique $\mathrm {X} _{i}^{p}+\mathrm {Z} _{i}^{p}$ avait une valeur moyenne différente de 0. Il n’est pas facile de démontrer directement qu’il n’en est pas ainsi, mais comme nous savons d’avance que $x_{i}^{p}$ doit être une fonction périodique des $w,$ nous sommes certains que la valeur moyenne