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CHAPITRE XXI.

on aura

(12)

$\left\{{\begin{aligned}n_{k}+\theta _{k}n_{1}&=-{\frac {d\varphi }{dx_{k}^{0}}},\quad (k>1),\\\theta _{1}n_{1}&=-{\frac {d\varphi }{d\mathrm {C} _{2}}},\\n_{i}'+\theta _{i}'n_{1}&=-{\frac {d\varphi }{dz_{i}^{0}}}\cdot \end{aligned}}\right.$

On voit que les $n$ sont développables suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$ Pour nous rendre compte de la forme du développement, développons la fonction $\varphi$ elle-même suivant les puissances de $\mu \,;$ il vient

$\varphi =\mathrm {C_{0}+\mu \,C_{2}+\mu ^{2}C_{4}} +\ldots .$

On a d’ailleurs

$\mathrm {C} _{0}=\mathrm {F} _{0}\left(x_{1}^{0},x_{2}^{0},\ldots ,x_{p}^{0}\right),$

d’où

${\frac {d\mathrm {C} _{0}}{dx_{k}^{0}}}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{k}^{0}}}+{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{0}}}{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}=-n_{k}^{0}-n_{1}^{0}\,{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}=-n_{k}^{0}.$

puisque $n_{1}^{0}$ est nul.

D’ailleurs on voit que

${\frac {d\varphi }{d\mathrm {C} _{2}}}=\mu$

et que le développement de ${\frac {d\varphi }{dz_{i}^{0}}}$ commence par un terme en $\mu ^{2}.$

La seconde équation (12), où le coefficient $\theta _{1}$ est divisible par ${\sqrt {\mu }}$ et le second membre par $\mu ,$ nous apprend que le développement de $n_{1}$ commence par un terme en ${\sqrt {\mu }}.$ Comme $\theta _{i}'$ est également divisible par ${\sqrt {\mu }},$ $\theta _{i}'n_{1}$ par $\mu ,$ et le second membre par $\mu ^{2}\,;$ la troisième équation (12) nous apprend que $n_{i}'$ est divisible par $\mu .$

Remarquons, d’autre part, que les équations (11) sont susceptibles de simplification. Nous avons supposé jusqu’ici que $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S} '$ étaient exprimés en fonctions des variables $y$ et $u$ et des constantes $x_{k}^{0},$ $\mathrm {C} _{2}$ et $z_{i}^{0}.$ Posons maintenant

$\beta =x_{1}^{0}+\gamma {\sqrt {\mu }}$

et supposons, ce qui revient au même, que $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S} '$ sont exprimés