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CHAPITRE XI.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

la fonction $\mathrm {F}$ après le changement de variables sera périodique par rapport aux $\eta _{i}.$

Nous avons appelé $\mathrm {R}$ la valeur moyenne de $\mathrm {F} _{1}$ considérée comme fonction périodique de $y_{1}$ et $y_{2}.$ Je dis que, si après le changement de variables nous regardons $\mathrm {F} _{1}$ comme une fonction périodique de $\eta _{1}$ et $\eta _{2},$ sa valeur moyenne sera encore $\mathrm {R} .$

En effet, on a par définition

$4\pi ^{2}\mathrm {R} =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathrm {F} _{1}\,dy_{1}\,dy_{2},$

et je me propose de démontrer que

$4\pi ^{2}\mathrm {R} =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathrm {F} _{1}\,d\eta _{1}\,d\eta _{2}.$

On a en effet

$\iint \mathrm {F} _{1}\,d\eta _{1}\,d\eta _{2}=\iint \mathrm {F} _{1}\left({\frac {d\eta _{1}}{dy_{1}}}{\frac {d\eta _{2}}{dy_{2}}}-{\frac {d\eta _{1}}{dy_{2}}}{\frac {d\eta _{2}}{dy_{1}}}\,dy_{1}\,dy_{2}\right)\,;$

or, dans les relations

${\begin{aligned}x_{1}&=\xi _{1},&x_{2}&=\xi _{2},&x_{i}&={\frac {d\mathrm {U} }{dy_{i}}},&\eta _{i}&={\frac {d\mathrm {U} }{d\xi _{i}}}\quad (i=3,\,4),\end{aligned}}$

$y_{1}$ et $y_{2},$ $\eta _{1}$ et $\eta _{2}$ n’entrent pas ; ce qui montre que, quand on exprimera les variables nouvelles en fonction des anciennes $\xi _{1},$ $\xi _{2},$ $\xi _{3},$ $\xi _{4},$ $\eta _{3}$ et $\eta _{4}$ ne dépendront ni de $y_{1}$ ni de $y_{2}.$

Donc, si l’on remplace, dans $\mathrm {T} ,$ $\xi _{3}$ et $\xi _{4}$ par leurs valeurs en fonction de $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3},$ $x_{4},$ $y_{3}$ et $y_{4},$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {T} }{dy_{1}}}&={\frac {d\mathrm {T} }{dy_{2}}}=0,&{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{d\xi _{i}\,dy_{1}}}&={\frac {d^{2}\mathrm {T} }{d\xi _{i}\,dy_{2}}}=0,\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}{\frac {d\eta _{1}}{dy_{1}}}&=1+{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{d\xi _{1}\,dy_{1}}}=1,&{\frac {d\eta _{1}}{dy_{2}}}&={\frac {d^{2}\mathrm {T} }{d\xi _{1}\,dy_{2}}}=0\end{aligned}}$

et de même

${\begin{aligned}{\frac {d\eta _{2}}{dy_{1}}}&=0,&{\frac {d\eta _{2}}{dy_{2}}}&=1.\end{aligned}}$

On a donc

$\iint \mathrm {F} _{1}\,d\eta _{1}\,d\eta _{2}=\iint \mathrm {F} _{1}\,dy_{1}\,dy_{2}.$
C.Q.F.D.