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CHAPITRE XI.
et
étant des formes quadratiques des
et des
dont les
coefficients dépendent de
et de
et qui s’écrivent
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi &={\frac {d\varphi }{d\Lambda }}\,(\sigma _{2}\tau _{1}-\sigma _{1}\tau _{2})+{\frac {d\varphi '}{d\Lambda }}\,(\sigma _{4}\tau _{3}-\sigma _{3}\tau _{4}),\\[0.5ex]\psi '&={\frac {d\varphi }{d\Lambda '}}(\sigma _{2}\tau _{1}-\sigma _{1}\tau _{2})+{\frac {d\varphi '}{d\Lambda '}}(\sigma _{4}\tau _{3}-\sigma _{3}\tau _{4}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf13d58f747199ee60a8ae26b74587aa49965b97)
et
étant les angles que nous avons appelés ainsi au no 131.
On verrait alors, en raisonnant comme au no 135, que toute
fonction périodique en
et
est encore, après le changement de
variables, périodique en
et
et que la valeur moyenne est la
même dans les deux cas.
Nous pouvons tirer de là quelques conclusions au sujet de la
forme de la fonction
dépend d’une manière quelconque de
et de
mais elle
est périodique en
et
de plus elle est développable suivant
les puissances des
et des
J’ajouterai qu’elle ne doit pas changer quand on change
et
e,
et
et quand les
et les
changent de signe à la
fois. Il suffit, pour s’en rendre compte, de se reporter à ce que nous
avons dit au no 12 et d’observer que quand
![{\displaystyle \lambda _{1},\quad \lambda '_{1},\quad \sigma _{i},\quad \tau _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f889adb3617767fc05b14258e4ebbcd907d860a)
se changent en
![{\displaystyle \lambda _{1}+\pi ,\quad \lambda '_{1}+\pi ,\quad -\sigma _{i},\quad -\tau _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21a72e96793d58580f26286ac1189e8eef57a64d)
les quantités
et
se changent en
et
et que les
variables
etc., changent de signe.
Nous allons enfin faire un dernier changement de variables
en posant, comme au no 131,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{i}&={\sqrt {2\rho _{i}}}\cos \omega _{i},&\sigma _{i}&={\sqrt {2\rho _{i}}}\sin \omega _{i},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e737e0b9bcceca09a4ea4b56c623b9d04ceda71)
ce qui, en vertu de la remarque du no 6, n’altère pas la forme canonique.
devient alors développable suivant les puissances des
et il
vient d’ailleurs
![{\displaystyle \mathrm {R} _{2}=2\mathrm {A} _{1}\rho _{1}+2\mathrm {A} _{2}\rho _{2}+2\mathrm {A} _{3}\rho _{3}+2\mathrm {A} _{4}\rho _{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e22fa61c6579da7cf873a90ea1050a20f22d1b41)