Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/99

85

APPLICATION AUX ORBITES.

Les deux derniers termes sont des constantes et ne jouent aucun rôle puisqu’on peut les faire rentrer dans la constante $\mathrm {C} .$

Nos équations différentielles deviennent alors

${\begin{aligned}{\frac {d\lambda }{dt}}&=1,&{\frac {d\Lambda '}{dt}}&=0,\\{\frac {dx'}{dt}}&=-\mu \,\mathrm {A} \,y',&{\frac {dy'}{dt}}&=\mu \,\mathrm {A} \,x',\end{aligned}}$

et l’équation aux dérivées partielles correspondantes devient

${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}+{\frac {\mu \,\mathrm {A} }{2}}\left[\left({\frac {d\mathrm {S} }{dy'}}\right)^{2}+{y'}^{2}\right]=\mathrm {const.}$

Si l’on revient maintenant aux coordonnées polaires en posant

${\begin{aligned}{\sqrt {2\Omega '}}\cos \omega '&=x',&{\sqrt {2\Omega '}}\sin \omega '&=y',\end{aligned}}$

il vient

$\mathrm {F} =\Lambda '+\mu \,\mathrm {A} \,\Omega '+\mathrm {const.} ,$

et l’équation aux dérivées partielles se réduit à

${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}+\mu \,\mathrm {A} {\frac {d\mathrm {S} }{d\omega '}}=\mathrm {const.}$

Grâce à la simplicité de l’exemple que j’ai choisi, l’intégration de l’équation ainsi transformée est immédiate ; mais le point important pour mon objet, c’est de faire observer que les termes qui seraient analogues au terme en ${\sqrt {\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}}$ dans l’équation (2) du n^o 142 ont disparu. Or c’était de ce terme que provenait toute la difficulté.

145.Essayons donc d’appliquer la même méthode au Problème des trois Corps et d’abord dans le plan.

Nous avons pris d’abord pour variables

(1)

$\left\{{\begin{array}{rrrr}\Lambda ,&\Lambda '&\xi ,&\xi ',\\\lambda ,&\lambda '&\eta ,&\eta ',\end{array}}\right.$

puis

(2)

$\left\{{\begin{array}{rrrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\sigma _{i},\\\lambda _{1},&\lambda '_{1},&\tau _{i},\end{array}}\right.$