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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
ou, en supprimant les accents devenus inutiles,
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}=h_{2}x_{2}+h_{3}x_{3}+\mathrm {A} x_{1}^{2}+2\mathrm {B} x_{1}y_{1}+\mathrm {C} y_{1}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7227bd4f0db5b9f0acae7222d46f23515a64fc8b)
Les fonctions
ne dépendent que de
et de
et sont périodiques de période
par rapport à ces deux variables.
Je vais recommencer les changements de variables du no 274 ;
tout ce que j’en ai dit reste vrai, mais seulement au point de vue formel.
Pour que je puisse appliquer les principes du calcul formel, il
faut qu’il y ait un paramètre par rapport aux puissances duquel
s’effectuent les développements. Ici ce sera le paramètre
En effet,
et par conséquent
sont développables
suivant les puissances entières de
J’ajoute que, pour
et
se réduisent à 0 et que
se réduisent à des constantes
que j’appelle
et
Cherchons à intégrer les équations suivantes
(1)
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Je cherche à faire l’intégration de telle manière que
![{\displaystyle y_{2}-y_{2}',\quad y_{3}-y_{3}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9279111cade9eb10810570270b431712aa57c227)
soient des fonctions périodiques de période
de deux variables
nouvelles
et
qui devront elles-mêmes être de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{2}'&=n_{2}t+\varpi _{2},&y_{3}'&=n_{3}t+\varpi _{3};\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/321181c05c80bb388235e0c8a21a42a9eb333697)
et
sont des constantes développables suivant les puissances
de
et
sont des constantes d’intégration.
Les équations (1) prennent alors la forme
(2)
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Nous poserons
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}h_{i}&=h_{i}^{0}&{}+&{}\mu \,h_{i}^{(1)}&{}+&{}\mu ^{2}h_{i}^{(2)}&{}+&{}\ldots ,\\y_{i}&=y_{i}^{0}&{}+&{}\mu \,y_{i}^{(1)}&{}+&{}\mu ^{2}y_{i}^{(2)}&{}+&{}\ldots ,\\n_{i}&=n_{i}^{0}&{}+&{}\mu \,n_{i}^{(1)}&{}+&{}\mu ^{2}n_{i}^{(2)}&{}+&{}\ldots \end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc34cafe0fcba725ae3dc131478470f87e56c5c4)
et nous supposerons que les
sont des constantes ; que les ![{\displaystyle h_{i}^{(n)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499ccad7752e04372cbd22c3157a527a53b9c3e2)