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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

sances de $\varepsilon ,$ ${\sqrt {\overset {}{\mu }}},$ de trois constantes $\alpha _{0},$ $\alpha _{0}'$ et $\beta _{0},$ de $e^{\pm i(n_{1}t+\varpi _{1})},$ de $e^{\pm i(n_{1}'t+\varpi _{1}')},$ de ${\sqrt {\beta _{0}}}e^{(n_{2}t+\varpi _{2})},$ ${\sqrt {\beta _{0}}}e^{-(n_{2}t+\varpi _{2})}.$ Les constantes $n_{1},$ $n_{1}'$ et $n_{2}$ sont elles-mêmes développables suivant les puissances de $\varepsilon ,$ ${\sqrt {\overset {}{\mu }}},$ $\alpha _{0},$ $\alpha _{0}'$ et $\beta _{0}.$

277.Passons au second mode de généralisation et supposons qu’on veuille étudier les équations dans le voisinage d’une véritable solution périodique mise sous la forme

$x_{1}=x_{2}=x_{3}=y_{1}=y_{2}=0.$

Nous poserons

${\begin{aligned}\mathrm {F} &=\varepsilon ^{2}\mathrm {F} ',&x_{1}&=\varepsilon \,x_{1}',&y_{1}&=\varepsilon \,y_{1}',&x_{2}&=\varepsilon \,x_{2}',&y_{2}&=\varepsilon \,y_{2}',\end{aligned}}$

${\begin{aligned}x_{3}&=\varepsilon ^{2}x_{3}',&y_{3}&=y_{3}',\end{aligned}}$

d’où

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}'+\varepsilon \,\mathrm {F} _{1}'+\ldots .$

Les équations restent canoniques et l’on a

$\mathrm {F} _{0}'=hx_{3}'+\Phi (x_{1}',y_{1}',x_{2}',y_{2}'),$

$\Phi$ étant une forme quadratique homogène en $x_{1}',$ $y_{1}',$ $x_{2}',$ $y_{2}'\,;$ les coefficients de $\Phi$ et $h$ sont des fonctions périodiques de $y_{3}=y_{3}'.$

Nous supprimerons désormais les accents devenus inutiles et nous écrirons simplement

$\mathrm {F} _{0}=hx_{3}+\Phi (x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}).$

On démontrerait comme aux n^os 274 et 276 que l’on peut toujours supposer que $h$ se réduit à une constante.

Envisageons maintenant les équations

${\begin{aligned}{\frac {dy_{3}}{dt}}&=-h,&{\frac {dx_{1}}{dt}}&={\frac {d\Phi }{dy_{1}}},&{\frac {dy_{1}}{dt}}&=-{\frac {d\Phi }{dx_{1}}},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {dx_{2}}{dt}}&={\frac {d\Phi }{dy_{2}}},&{\frac {dy_{2}}{dt}}&=-{\frac {d\Phi }{dx_{2}}}\cdot \end{aligned}}$

Elles sont linéaires et à coefficients périodiques. Leur solution générale sera donc de la forme

${\begin{aligned}x_{1}&=\mathrm {A} _{1}e^{at}\varphi _{1.1}+\mathrm {A} _{2}e^{-at}\varphi _{2.1}+\mathrm {A} _{3}e^{bt}\varphi _{3.1}+\mathrm {A} _{4}e^{-bt}\varphi _{4.1},\\y_{1}&=\mathrm {A} _{1}e^{at}\varphi _{1.2}+\mathrm {A} _{2}e^{-at}\varphi _{2.2}+\mathrm {A} _{3}e^{bt}\varphi _{3.2}+\mathrm {A} _{4}e^{-bt}\varphi _{4.2},\\x_{2}&=\mathrm {A} _{1}e^{at}\varphi _{1.3}+\mathrm {A} _{2}e^{-at}\varphi _{2.3}+\mathrm {A} _{3}e^{bt}\varphi _{3.3}+\mathrm {A} _{4}e^{-bt}\varphi _{4.3},\\y_{2}&=\mathrm {A} _{1}e^{at}\varphi _{1.4}+\mathrm {A} _{2}e^{-at}\varphi _{2.4}+\mathrm {A} _{3}e^{bt}\varphi _{3.4}+\mathrm {A} _{4}e^{-bt}\varphi _{4.4}.\end{aligned}}$