121
INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
(Les équations trop longues pour tenir sur une ligne ont été mises sur 2 lignes)
Soit
ce que devient le coefficient du terme en
![{\displaystyle f_{k}'\left(\delta f_{k}\,\delta '\!\Theta -\delta \Theta \,\delta '\!f_{k}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ab6935df4987612ce98ed4c6ce15c7607ad26c)
et
ce que devient celui du terme en
![{\displaystyle \left(\delta \Phi \,\delta '\!\Theta -\delta \Theta \,\delta '\!\Phi \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92442539c2e7910616c63d7f2e90750d1d0ec088)
Nous devrons avoir identiquement
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}\left[\delta \alpha _{k}\,\delta '\!(\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')-\delta '\!\alpha _{k}\,\delta (\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')\right]\\[-0.5ex]&\;\;+{\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{k}\left[\delta (\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')\,\delta '\!\alpha _{0}-\delta '\!(\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')\,\delta \alpha _{0}\right]+\mathrm {D} _{0}(\delta \mathrm {C} \,\delta '\!\alpha _{0}-\delta '\!\mathrm {C} \,\delta \alpha _{0})=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22237139e678018fad02ba0e9c9619d13905f867)
Écrivons, pour abréger,
au lieu de
au lieu de
et
![{\displaystyle \partial (u,v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/653c18cfb043689026e3f6a9c949ed08069dc910)
au lieu de
![{\displaystyle \delta u\,\delta '\!v-\delta v\,\delta '\!u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a585aa803f8c52a5efac2b0613b7e371cbc506e6)
il viendra
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}\,\partial (\alpha _{k},\gamma _{k})+{\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{k}\,\partial (\gamma _{k},\alpha _{0})+\mathrm {D} _{0}\,\partial (\gamma _{0},\alpha _{0})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878ba181eae4af9e7dd08d5f9a12822b03ac841f)
ou bien
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\textstyle \sum \sum }\,\mathrm {B} _{k}\,{\frac {d\alpha _{k}}{d\gamma _{j}}}\,\partial (\gamma _{j},\gamma _{k})&+{\textstyle \sum \sum }\,\mathrm {D} _{k}\,{\frac {d\alpha _{0}}{d\gamma _{j}}}\,\partial (\gamma _{k},\gamma _{j})\\[-0.25ex]&+{\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{0}\,{\frac {d\alpha _{0}}{d\gamma _{j}}}\,\partial (\gamma _{0},\gamma _{j})=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8bf671ad70f3575c770073568944779fcb8293e)
Sous le signe
ou
peut prendre les valeurs
et
les valeurs
En égalant à zéro le coefficient de
on trouve
(12)
|
|
|
En égalant à zéro le coefficient de
on trouve
(12 bis)
|
|
|
Ces équations expriment que
(13)
|
|
|
est une différentielle exacte.
Dans les équations (12) et (12 bis) il faut faire
les
sont donc des constantes ; les
sont donc des fonctions linéaires
des
en réalité, comme nous l’avons vu, les
peuvent être développés
suivant les puissances des
mais le résultat que nous