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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
Or ce n’est pas le cas de l’invariant
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,dx_{i}\,dy_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5143abf79251c65c4d407e1956e36f3e294d2a28)
auquel correspond l’expression
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\left(\delta x_{i}\,\delta '\!y_{i}-\delta y_{i}\,\delta '\!x_{i}\right)\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f2e08ff512e7b91235ba8eab78ddcf9343aec15)
Soit, en effet,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\delta \Theta &={\textstyle \sum }\,a_{i}\,\delta x_{i}&{}+{}&{\textstyle \sum }\,b_{i}\,\delta y_{i},\\\delta '\!\Theta &={\textstyle \sum }\,a_{i}\,\delta '\!x_{i}&{}+{}&{\textstyle \sum }\,b_{i}\,\delta '\!y_{i}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c4aa476cf07e572207d7d499a6ddd50efd1888e)
On devrait avoir une égalité de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\textstyle \sum }\,\left(\delta x_{i}\,\delta '\!y_{i}-\delta y_{i}\,\delta '\!x_{i}\right)={}&{\textstyle \sum }\,\left(a_{i}\,\delta x_{i}+b_{i}\,\delta y_{i}\right){\textstyle \sum }\,\left(c_{i}\,\delta '\!x_{i}+e_{i}\,\delta '\!y_{i}\right)\\&-{\textstyle \sum }\,\left(a_{i}\,\delta '\!x_{i}+b_{i}\,\delta '\!y_{i}\right){\textstyle \sum }\,\left(c_{i}\,\delta x_{i}+e_{i}\,\delta y_{i}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c8b868c9c3a3e79426f4be82b03d50714f9996)
Or cela est impossible puisque le premier membre est une forme
bilinéaire de déterminant 1 et le second une forme bilinéaire de
déterminant 0.
Nous devons donc conclure que les conditions (15) sont toujours
remplies.
284.Recherchons maintenant si les équations (14) peuvent
admettre plusieurs solutions.
Soient
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}\mathrm {B} _{1},&\mathrm {B} _{2},&\ldots ,&\mathrm {B} _{n},\\\mathrm {B} _{1}',&\mathrm {B} _{2}',&\ldots ,&\mathrm {B} _{n}'\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61a0a731b8db12ddb273b82561cfb619f01ebea9)
ces deux solutions, et supposons que l’on n’ait pas
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {B} _{k}}{\mathrm {B} _{k}'}}={\frac {\mathrm {B} _{i}}{\mathrm {B} _{i}'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb562beca276d94b9e7088a95aed36242c46828)
alors les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} _{k}\,{\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial \gamma _{i}}}&=\mathrm {B} _{i}\,{\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \gamma _{k}}},\\\mathrm {B} _{k}'\,{\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial \gamma _{i}}}&=\mathrm {B} _{i}'\,{\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \gamma _{k}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7c4a4268c4877dc4f451ec23aa95ec79ff41a8f)
entraîneront
![{\displaystyle {\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial \gamma _{i}}}={\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \gamma _{k}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/982c686749c7e7457498e62f938db6a7aac3f291)
Alors les indices
![{\displaystyle 1,\quad 2,\quad \ldots ,\quad n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28b75c10d3fca4c84a2f88c875ff9c62b7f2b6e8)
se répartiront en un certain nombre de groupes, autant qu’il y a