133
INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
Toutes les expressions (1) s’annuleront donc à l’exception de
et
![{\displaystyle \delta \Phi ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c9837d3d11226d2ad77f605b918ffa16f3ee407)
Si l’on suppose
elles s’annuleront toutes à l’exception de
et
![{\displaystyle \delta \Theta ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b59958921ef4d8db9c9eb08bacd4421d72377c)
Soit donc, pour un point de la solution périodique,
![{\displaystyle \Pi =\mathrm {B} \,\delta f_{1}\,\delta f_{1}'+\mathrm {C} \,\delta \Theta ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28d11abb7d37d24093f677540fed22e907bb5b26)
L’ensemble des termes en
se réduira donc, pour ce même
point, à
![{\displaystyle -\mathrm {B} f_{1}f_{1}'\,t^{2}\,\delta \alpha _{1}^{2}+\mathrm {C} \,t^{2}\,\delta \alpha _{0}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54d1c0a24eb7d57efdcb9088d77070c542442bad)
(cf., supra, Tableau 10 bis) et, puisque
à
![{\displaystyle \mathrm {C} \,t^{2}\,\delta \alpha _{0}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f9ca379ddadeb08a5b1830e370468d68125aee)
Les termes en
doivent disparaître ; celui-ci est le seul qui ne
s’annule pas pour le point considéré ; tous les autres sont nuls,
quand même on ne s’assujettirait pas à la condition
car
et
ne donnent pas de termes en
Or
n’est pas identiquement nul. On a, pour un point de la
solution périodique,
![{\displaystyle {\frac {d\alpha _{0}}{df_{1}}}={\frac {d\alpha _{0}}{df_{1}'}}={\frac {d\alpha _{0}}{d\Theta }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f8396e54f318822863789c2d757e51616a6be93)
mais on ne saurait avoir
ce serait supposer qu’il y a une
infinité continue de solutions périodiques de même période, ce
qui n’a pas lieu.
On peut remarquer toutefois que
contient en facteur la
petite quantité, que je désigne par
c’est-à-dire la masse du
second corps, et par conséquent que
s’annule pour
c’est-à-dire dans le mouvement képlérien.
Les termes en
ne peuvent donc disparaître que si l’on a
![{\displaystyle \mathrm {C} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce9411cbd518c618a1fcac1b5ba0786c9e4b7c9f)
d’où
![{\displaystyle \Pi =\mathrm {B} \,\delta f_{1}\,\delta f_{1}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4da4237ead40cdc263688b89144e7ad1b1340d4)
Mais cette dernière égalité montrerait que
se réduit à une
forme quadratique binaire et par conséquent que son discri-