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CHAPITRE XXVI.

Intégrons d’abord par rapport à $\rho .$ Il faut calculer l’intégrale

$\int \rho \,d\rho ={\frac {\rho ^{2}}{2}},$

prise entre les limites

$\rho ={\sqrt {2\left(\mathrm {H} -\varepsilon +{\frac {m_{2}}{r_{2}}}\right)}}$et$\rho ={\sqrt {2\left(\mathrm {H} +\varepsilon +{\frac {m_{2}}{r_{2}}}\right)}},$

ce qui donne $\varepsilon .$

L’intégrale (2 ter) se réduit donc à

$4\pi ^{2}\varepsilon \int _{0}^{\alpha }r_{2}\,dr_{2}=2\pi ^{2}\varepsilon \alpha ^{2}\,:$

elle est donc finie.

Les théorèmes démontrés plus haut s’appliquent donc au cas qui nous occupe. La masse nulle repassera une infinité de fois aussi près que l’on voudra de sa position initiale, si l’on n’est pas placé dans certaines conditions initiales exceptionnelles dont la probabilité est infiniment petite.

Si donc, dans le problème restreint, on suppose que les conditions initiales soient telles que le point $\xi ,\,\eta$ doive rester à l’intérieur d’une courbe fermée $\mathrm {C} _{1}$ ou $\mathrm {C} _{2},$ la première des conditions de la stabilité telles qu’elles ont été définies au n^o 290 se trouve remplie.

Mais de plus la troisième l’est également : il y a donc stabilité à la Poisson.

300.Le résultat serait évidemment le même quelle que soit la loi d’attraction.

Si, en effet, le mouvement d’un point matériel $\xi ,\,\eta$ est régi par les équations

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\xi }},&{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\eta }}\end{aligned}}$

ou dans le cas du mouvement relatif par les équations

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-2n\,{\frac {d\eta }{dt}}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\xi }},\\{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+2n\,{\frac {d\xi }{dt}}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\eta }},\end{aligned}}$