Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/205

193

THÉORIE DES CONSÉQUENTS.

En supposant toujours $\mu =0,$ les trajectoires issues des divers points de cette circonférence auront pour équation générale

${\begin{aligned}y_{1}&=n_{1}t+\mathrm {const.} ,&y_{2}&=n_{2}t+\mathrm {const.} ,\end{aligned}}$

d’où

$y_{1}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}y_{2}+\mathrm {const.}$

Pour avoir les conséquents successifs d’un point donné, il suffira de faire successivement

$y_{2}=0,\quad y_{2}=2\pi ,\quad y_{2}=4\pi ,\quad \ldots ,\quad y_{2}=2k\pi .$

Pour passer d’un point à son conséquent il suffit donc d’augmenter $y_{1}$ de

${\frac {2\pi n_{1}}{n_{2}}}=-{\frac {2\pi m_{2}}{m_{1}}},$

d’où il suit que tous les points de la circonférence invariante $x_{1}=b$ coïncideront avec leur $m_{1}\!\!$^ième conséquent.

Ce point et ses $m_{1}-1$ premiers conséquents sont distribués sur cette circonférence dans un ordre circulaire qu’il est aisé de retrouver quand on connaît les deux entiers $m_{1}$ et $m_{2}\,;$ je l’appellerai l’ordre $\Omega .$

Ne supposons plus $\mu =0\,;$ les équations (1), d’après le Chapitre III, admettront encore des solutions périodiques peu différentes des solutions

${\begin{aligned}x_{1}&=b,&y_{1}&=n_{1}t+\mathrm {const.} ,&y_{2}&=n_{2}t+\mathrm {const.} \end{aligned}}$

Elles en admettront au moins deux dont l’une instable et l’autre stable. À chacune de ces solutions périodiques correspondra une trajectoire fermée ; je considère une de ces trajectoires que j’appelle $\mathrm {T}$ et qui correspondra à une solution instable, afin que par $\mathrm {T}$ passent deux surfaces asymptotiques.

Soit $\mathrm {M} _{0}$ le point où cette trajectoire perce le demi-plan $y_{2}=0,$ $\mathrm {M} _{1},$ $\mathrm {M} _{2},\,\ldots$ ses conséquents successifs (fig. 7). Le point $M_{0}$ coïncidera avec son $m_{1}\!\!$^ième conséquent $\mathrm {M} _{m}.$

Je joins le point $\mathrm {M} _{k}$ au centre de la circonférence $x_{1}=b\,;$ le rayon ainsi mené coupera la circonférence en un point $\mathrm {M} _{k}'$ très voisin de $\mathrm {M} _{k}.$ Les divers points $\mathrm {M} _{k}'$ se succéderont sur la circonférence dans l’ordre circulaire $\Omega .$