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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.

y a sur la surface (4 bis) des points par où passent d’autres nappes de la surface (3) que la surface (4 bis) elle-même.

Nous pourrons, sans restreindre la généralité, supposer $\beta _{1}=0$ (ou nous imposer une autre relation arbitraire entre les $\beta$).

En effet, les solutions

${\begin{aligned}x_{i}&=f_{i}(t),&x_{i}&=f_{i}(t+h)\end{aligned}}$

ne sont pas réellement distinctes et il suffira d’envisager l’une d’elles.

Nous pouvons donc choisir arbitrairement la constante $h\,;$ et nous pouvons le faire, par exemple, de telle façon que

$f_{i}(h)=\varphi _{i}(0),$

d’où

$\beta _{1}=0.$

C. Q. F. D.

Si nous nous imposons cette condition $\beta _{1}=0,$ les deux surfaces (3) et (4 bis) se réduisent à des courbes et, en particulier, la surface (4 bis) se réduit à la droite (4). . Nous sommes amenés de nouveau à rechercher si par un point de la droite (4) passe une autre branche de la courbe (3).

Pour cela, combinons l’équation $\beta _{1}=0$ avec les équations (3) ; ces équations représenteront la courbe (3) ou une courbe dont la courbe (3) n’est qu’une partie. Pour que cette courbe, dans le domaine considéré, ne se réduise pas à la droite (4), il faut que le jacobien de $\psi _{1},\,\psi _{2},\,\ldots ,\,\psi _{n},\,\beta _{1}$ par rapport à $\beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{n},\,\tau$ et celui de $\psi _{1},\,\psi _{2},\,\ldots ,\,\psi _{n}$ par rapport à $\beta _{2},\,\beta _{3},\,\ldots ,\,\beta _{n},\,\tau$ soit nul pour $\lambda =0.$

Comme rien ne distingue $\beta _{1}$ des autres $\beta ,$ les jacobiens des $\psi$ par rapport à $\tau$ et à $n-1$ quelconques des $\beta$ devront s’annuler tous. C’est-à-dire que tous les déterminants contenus dans la matrice des n^os 38 et 63 doivent s’annuler à la fois. En raisonnant comme au n^o 63, on verrait que l’équation en $\mathrm {S}$ doit avoir deux racines nulles.

Il en résulte que deux des exposants caractéristiques devront être multiples de ${\frac {2i\pi }{k\mathrm {T} }}\cdot$ Cela est déjà vrai de l’un d’entre eux qui est nul. Un second exposant devra être multiple de ${\frac {2i\pi }{k\mathrm {T} }}\cdot$

Si cette condition est remplie, nous formerons un système de