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CHAPITRE XXVIII.

Pour que dans le voisinage d’un point de la droite (4), les équations (1) admettent des solutions périodiques du second genre, il faut et il suffit que les équations (1 bis) en admettent, c’est-à-dire qu’en un point de la droite (4) l’un des $n-1$ exposants caractéristiques $\alpha _{1},$ $\alpha _{2},\,\ldots ,$ $\alpha _{n-1}$ soit multiple de ${\frac {2i\pi }{k\,\mathrm {T} }}\cdot$

Ainsi, la condition énoncée plus haut que le jacobien de $\psi _{1},$ $\psi _{2},\,\ldots ,$ $\psi _{n-1},$ $\mathrm {F}$ est nul est susceptible d’un énoncé tout différent. Pour qu’elle soit remplie, il faut que deux des exposants soient multiples de ${\frac {2i\pi }{k\,\mathrm {T} }}\,;$ cela est toujours vrai d’un d’entre eux qui est nul ; cela doit être vrai d’un second exposant.

Supposons cette condition remplie. Des équations (3 bis) nous tirerons les $\beta$ en séries ordonnées suivant les puissances entières et fractionnaires de $\lambda .$ Je ne ferai pas la discussion pour savoir si ces séries sont réelles.

318.Supposons maintenant que les $\mathrm {X} _{i}$ ne dépendent pas explicitement du temps, et que les équations (1) admettent une intégrale

$\mathrm {F} =\mathrm {C} .$

Dans ce cas, d’après le n^o 66, deux des exposants caractéristiques sont nuls. Si, pour un système de valeurs de $\mu$ et de $\mathrm {C} ,$ les équations admettent une solution périodique, elles en admettront encore pour les valeurs voisines de sorte que nous aurons une double infinité de solutions périodiques

$x_{i}=\varphi _{i}(t)$

dépendant des deux paramètres $\mu$ et $\mathrm {C} .$ La période $\mathrm {T}$ ne sera pas constante, ce sera une fonction de $\mu$ et de $\mathrm {C} .$

Donnons alors à $\mathrm {C}$ une valeur déterminée $\mathrm {C} _{0}$ et soient encore

$\varphi _{i}(0)+\beta _{i},\quad \varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}$

les valeurs de $x_{i}$ pour $t=0,$ et pour $t=k(\mathrm {T} +\tau ).$

Aux équations

(3)

$\psi _{1}=\psi _{2}=\ldots =\psi _{n}=0$

nous adjoindrons d’abord l’équation $\mathrm {F} =\mathrm {C} _{0}$ et ensuite une relation arbitraire entre les $\beta ,$ par exemple $\beta _{1}=0.$