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CHAPITRE XXVIII.

deux des coefficients dont il a été question plus haut s’annulent.

Si donc nous considérons le discriminant de $\mathrm {U} _{0},$ c’est-à-dire le déterminant fonctionnel de

${\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{2}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{n}}},\quad$

par rapport à

$x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n},$

ce déterminant s’annule ainsi que tous ses mineurs du premier ordre ; mais tous les mineurs du deuxième ordre ne s’annulent pas, sans quoi un troisième coefficient serait nul, ce que nous ne supposons pas.

Nous pouvons aussi supposer qu’on ait fait un changement linéaire de variables tel que $\mathrm {U} _{0}$ soit ramené à la forme

$\mathrm {U} _{0}=\mathrm {A} _{3}x_{3}^{2}+\mathrm {A} _{4}x_{4}^{2}+\ldots +\mathrm {A} _{n}x_{n}^{2}$

et, par conséquent, que le déterminant fonctionnel de

${\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{3}}},\quad {\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{4}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{n}}},\quad$

par rapport à

$x_{3},\quad x_{4},\quad \ldots ,\quad x_{n}$

ne soit pas nul.

Envisageons alors les équations

(2)

${\frac {d\mathrm {V} }{dx_{3}}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{4}}}=\ldots {\frac {d\mathrm {V} }{dx_{n}}}=0$

qui sont $n-2$ des équations (1). Je dis qu’on pourra en tirer

$x_{3},\quad x_{4},\quad \ldots ,\quad x_{n},$

en séries ordonnées suivant les puissances de

$z,\quad x_{1},\quad x_{2}.$

Pour cela, il suffit, en vertu du n^o 30, que le déterminant fonctionnel des équations (2) par rapport à

$x_{3},\quad x_{4},\quad \ldots ,\quad x_{n},$

ne s’annule pas quand on y fait

$z=x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=\ldots =x_{n}=0.$