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CHAPITRE XXVIII.

On verrait de même, ou plutôt on voit en même temps, que $\mathrm {V}$ est minimum pour $z$ négatif et très petit et pour $x_{1}=x_{2}=0.$

Nous sommes donc bien, comme je l’avais annoncé, ramenés aux conditions du numéro précédent et le théorème énoncé au début de ce numéro peut être regardé comme établi.

Existence des solutions du deuxième genre.

333.Revenons aux hypothèses du n^o 330 ; nous avons défini la fonction $\mathrm {S} _{mp},$ qui dépend de $\mu ,$ des $2n$ variables

(α)

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {X} _{1}+\xi _{1},\quad \ldots ,\quad \mathrm {X} _{n}+\xi _{n},\\&\mathrm {Y} _{1}+\eta _{1},\quad \mathrm {Y} _{2}+\eta _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {Y} _{n}+\eta _{n}.\end{aligned}}\right.$

Les $\xi _{i}$ et les $\eta _{i}$ sont les valeurs de $x_{i}$ et $y_{i}$ pour $t=0\,;$ les $\mathrm {X} _{i}$ et les $\mathrm {Y} _{i}$ sont les valeurs de $x_{i}$ et $y_{i}$ pour $t=mp\mathrm {T} .$

Nous voulons étudier les solutions des équations

(1)

${\frac {d\mathrm {S} _{mp}}{d(\mathrm {X} _{i}+\xi _{i})}}={\frac {d\mathrm {S} _{mp}}{d(\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i})}}=0\,;$

d’après les n^os 321 et 322, ces solutions correspondent aux solutions périodiques de période $mp\mathrm {T} .$ Nous en connaissons déjà une, puisqu’une solution périodique de période $\mathrm {T}$ est en même temps périodique de période $mp\mathrm {T} \,;$ je me propose de montrer qu’il y en a d’autres.

Mais, auparavant, je veux faire voir par quel artifice on peut regarder $\mathrm {S} _{mp}$ comme dépendant seulement de $\mu$ et des $2n-1$ variables

(β)

$\left\{{\begin{array}{ccccc}&\mathrm {X} _{1}+\xi _{1},&\mathrm {X} _{2}+\xi _{2},&\ldots ,&\mathrm {X} _{n-1}+\xi _{n-1},&\\&\mathrm {Y} _{1}+\eta _{1},&\mathrm {Y} _{2}+\eta _{2},&\ldots ,&\mathrm {Y} _{n-1}+\eta _{n-1}.&\mathrm {Y} _{n}+\eta _{n}.\end{array}}\right.$

Pour cela, nous supposerons

$\mathrm {X} _{n}+\xi _{n}=0.$

Envisageons maintenant les équations

(1 bis)

${\frac {\partial \mathrm {S} _{mp}}{\partial (\mathrm {X} _{i}+\xi _{i})}}={\frac {\partial \mathrm {S} _{mp}}{\partial (\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i})}}=0.$

Nous employons les $d$ pour représenter les dérivées de $\mathrm {S}$ regardée comme fonction des variables (α) et les $\partial \,$ pour repré-