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CHAPITRE XXVIII.
elles admettront également des solutions périodiques de période
peu différentes de la solution de période
et se confondant
avec celles-ci quand l’exposant caractéristique devient
égal à
![{\displaystyle {\frac {2k\pi {\sqrt {-1}}}{p\,\mathrm {T} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8010478c4d3555bc24c1d2a848f57b5a9d06bd6c)
Ce sont les solutions du deuxième genre.
remarque.
334. Tous ces raisonnements supposent que
est une
fonction uniforme de
C’est à cette condition
seulement que l’on peut affirmer que tous les maxima de
correspondent à une solution périodique (voir no 321). Cette
circonstance à laquelle il faut faire la plus grande attention, est
un obstacle que l’on rencontrera souvent quand on voudra tirer
les conséquences du théorème du no 321.
Vérifions si
est bien fonction uniforme de ces variables.
Nous pouvons supposer
d’après ce que nous venons de
voir. D’autre part,
est évidemment fonction uniforme des
et
des
elle sera aussi fonction uniforme des
et des
pourvu que le déterminant fonctionnel des
et des
par rapport aux
et aux
ne s’annule pas dans le domaine
envisagé ; ce domaine se réduisant aux environs immédiats des
valeurs
![{\displaystyle \mu =\mu _{0},\quad \xi _{i}=\xi _{i}^{0},\quad \eta _{i}=\eta _{i}^{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/163fc48b96988929f1db2549732401b0a5384955)
il suffira que le déterminant fonctionnel ne soit pas nul en ce
point. Or, ce déterminant fonctionnel s’écrit (en supposant
pour fixer les idées)
![{\displaystyle \left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\xi _{1}}}+1&{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\eta _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\xi _{2}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\eta _{2}}}\\{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\xi _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\eta _{1}}}+1&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\xi _{2}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\eta _{2}}}\\{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\xi _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\eta _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\xi _{2}}}+1&{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\eta _{2}}}\\{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\xi _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\eta _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\xi _{2}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\eta _{2}}}+1\end{array}}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32692ead41b762f2d57aba93bf6dc98de2401ff7)