Les équations différentielles admettront donc quel que soit
Une solution de période du premier genre, stable ;
Une solution de période du deuxième genre, stable pour et instable pour
Supposons maintenant que l’équation (1) ait trois racines réelles.
La fonction aura trois maxima et trois minima deux à deux égaux et de signes contraires.
Dans ce cas et, par conséquent, présentent :
Pour un maximum pour et six minimax ;
Pour un minimum pour six maxima.
Les équations différentielles admettront donc, quel que soit
Une solution de période du premier genre, stable ;
Trois solutions de période du deuxième genre. Nous verrons plus loin qu’à un certain point de vue toutes ces solutions ne sont pas distinctes.
Passons à un cas un peu plus compliqué et supposons que soit du quatrième degré.
Dans ce cas, l’équation (1) est du quatrième degré, et comme elle a toujours au moins deux racines réelles d’après le no 331, elle en aura deux ou quatre. On n’a plus alors
mais bien
Supposons d’abord qu’il n’y ait que deux racines réelles.
Alors, la fonction présentera un maximum et un minimum quand variera de 0 à et autant quand variera de à
Trois cas sont à distinguer suivant les signes de ce maximum et de ce minimum.
Premier cas. — Le maximum et le minimum sont positifs.
Les fonctions et présentent :
Pour un maximum pour deux minima et deux minimax.
Pour un minimum pour
Les équations différentielles admettent, outre la solution du premier genre qui existe toujours, deux solutions du deuxième
