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CHAPITRE XXII.

grale (4), et qui est inverse de celle par laquelle, dans le présent numéro, nous avons passé de l’intégrale (1) à l’intégrale (2).

L’intégrale (3), étendue à la variété $v,$ est donc égale à l’intégrale d’ordre $p$

(4)

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {E} (z)\,d\omega '$

étendue à la variété $\mathrm {V}$

Nous dirons, par analogie avec la terminologie consacrée pour les intégrales simples, que l’intégrale (4) est une intégrale de différentielle exacte. Et en effet :

1^o Elle est nulle pour toute variété fermée ;

2^o Elle est réductible à une intégrale d’ordre moindre.

Cela posé, on aura

$\mathrm {J} =\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {E} (z+t)\,d\omega '-\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {E} (z)\,d\omega '$

les intégrales sont étendues à la variété $\mathrm {V} .$

Mais cette égalité peut encore s’écrire

$\int {\textstyle \sum }\left[\mathrm {B} (z+t)-\mathrm {E} (z+t)\right]\,d\omega '=\int {\textstyle \sum }\left[\mathrm {B} (z)-\mathrm {E} (z)\right]\,d\omega ',$

et elle est vraie pour une variété $\mathrm {V}$ quelconque.

Cela veut dire que

$\int {\textstyle \sum }\left[\mathrm {B} (z)-\mathrm {E} (z)\right]\,d\omega '$

est un invariant intégral absolu.

Nous arrivons donc au résultat suivant :

Tout invariant intégral relatif est la somme d’une intégrale de différentielle exacte et d’un invariant intégral absolu.

241.Nous avons vu au n^o 238 comment, d’un invariant relatif d’ordre $p,$ on pouvait déduire un invariant absolu d’ordre $p+1.$

Le même procédé est évidemment applicable aux invariants absolus, de sorte qu’on pourrait être tenté de l’appliquer de proche en proche et de construire successivement des invariants d’ordre $p+2,$ $p+3,\,\ldots .$

Mais on serait promptement arrêté dans cette voie.