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CHAPITRE XXIX.

ont leurs seconds membres linéaires et homogènes par rapport aux $y_{i}\,;$ donc $\mathrm {T}$ est homogène du second degré par rapport aux ${\frac {dx_{i}}{dt}}\,;$ soit alors $d\tau ^{2}$ ce que devient $\mathrm {T}$ quand on y remplace ${\frac {dx_{i}}{dt}}$ par $dx_{i},$ on aura

$\mathrm {T} ={\frac {d\tau ^{2}}{dt^{2}}}$

et $d\tau ^{2}$ sera une forme linéaire et homogène par rapport aux $n$ différentielles $dx_{i}\,;$ on déduit de là

$dt={\frac {d\tau }{\sqrt {\mathrm {T} }}}={\frac {d\tau }{\sqrt {\mathrm {U} +h}}}\cdot$

L’action maupertuisienne aura alors pour expression

$2\int d\tau \,{\sqrt {\mathrm {U} +h}}.$

338.Pour pouvoir étudier d’autres cas particuliers, posons, pour abréger,

$x_{i}'={\frac {dx_{i}}{dt}}\,;$

tirons les $y_{i}$ des équations

$x_{i}'={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},$

de façon à prendre pour variables nouvelles les $x_{i}$ et les $x_{i}'\,;$ désignons par des $d$ ordinaires les dérivées prises par rapport aux $x_{i}$ et aux $y_{i}$ et par des $\partial \,$ ronds les dérivées prises par rapport aux $x_{i}$ et aux $x_{i}'.$

On trouverait facilement les relations bien connues

${\begin{aligned}y_{i}={\frac {\partial \mathrm {H} }{dx_{i}'}},\qquad {\frac {\partial \mathrm {H} }{dx_{i}}}&=-{\frac {\partial \mathrm {F} }{dx_{i}}},\\\mathrm {F} =\sum x_{i}'\,{\frac {\partial \mathrm {H} }{dx_{i}'}}&-\mathrm {H} \end{aligned}}$

et l’on verrait que les équations (1) sont équivalentes aux équations de Lagrange,

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial x_{i}'}}={\frac {\partial \mathrm {H} }{dx_{i}}}\cdot$