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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.
2o Ou bien
peut s’annuler pour
il s’annulera alors
aussi pour
et comme il ne peut avoir ni maximum,
ni minimum, il faut qu’il devienne infini dans l’intervalle. De
même, si
peut devenir infini, il faut aussi qu’il puisse s’annuler.
Supposons donc, pour fixer les idées, que
devienne infini
pour
![{\displaystyle t=t_{0},\quad t_{1},\quad t_{0}+2\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2f3ab79badece6336632caca806acc475e5b19)
et pour les valeurs qui en diffèrent d’un multiple de
et s’annule
pour
![{\displaystyle t=t_{0}',\quad t_{1}',\quad t_{0}'+2\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/734ec914859f25084b84a4883d265f2c8f719e7b)
Je suppose d’ailleurs
![{\displaystyle t_{0}<t_{0}'<t_{0}<t_{1}'<t_{0}+2\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b350b9384d1bd59c8f08786eb021970ce1d8bf5)
D’ailleurs, quand
croît de
à
ou de
à
ou de
à
croît constamment de
à
La trajectoire fermée
qui représente notre solution périodique
sera donc partagée en deux arcs dont les extrémités correspondront
aux valeurs de
![{\displaystyle t_{0},\quad t_{1},\quad t_{0}+2\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a0eced8e73b37bfdd6f8c3b950107cc85832c3)
Chacun des points de l’un des arcs aura son premier foyer sur
l’arc suivant.
J’ajoute que les points qui correspondent aux valeurs de
![{\displaystyle t_{0},\quad t_{1},\quad t_{0}',\quad t_{1}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2f546980105c690fa14082c0364cc85edda02cc)
coïncident avec leurs deuxièmes foyers.
Soient
une valeur de
correspondant à un point quelconque
de
et
la valeur de
qui correspond à son
ième
foyer, on aura
![{\displaystyle \lim {\frac {t_{n}''-t''}{n}}={\frac {2\pi }{2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a47273fc26d6e5ced5d72f1713db9bcf690f086)
Mais ce n’est pas tout ; on aura
![{\displaystyle e^{2\alpha t_{n}''}\mathrm {G} (t_{n}'')=e^{2\alpha t''}\mathrm {G} (t'').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671f85b61d154f9a33dcd97e5278898c0a9211c4)
Si
est très grand et si
n’est pas infini, comme
est
très grand et que nous supposons
positif,
sera très petit,