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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.

Si l’on avait au contraire supposé $\delta y=0,$ aurait trouvé

${\frac {d\mathrm {F} }{dx}}+2\omega \,{\frac {dy}{ds}}={\frac {d\mathrm {F} }{ds}}{\frac {dx}{ds}}+\mathrm {F} {\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}\cdot$

Ces deux équations sont équivalentes, comme il était aisé de le prévoir, et, en effet, si on les ajoute après les avoir respectivement multipliées par ${\frac {dy}{ds}}$ et ${\frac {dx}{ds}},$ et si l’on tient compte des relations

${\begin{aligned}\left({\frac {dx}{ds}}\right)^{2}\!+\left({\frac {dy}{ds}}\right)^{2}\!&=1\,;&{\frac {dx}{ds}}{\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}+{\frac {dy}{ds}}{\frac {d^{2}y}{ds^{2}}}&=0,\end{aligned}}$

on arrive à une identité.

Si donc nous envisageons les courbes (1), elles satisferont à l’équation (6). Si l’on tient compte de cette équation, la relation (4) devient

$\delta \mathrm {J} '=\left[\mathrm {F} {\frac {dx\,\delta x+dy\,\delta y}{ds}}+\omega \,(x\,\delta y-y\,\delta x)\right]_{0}^{1}.$

Soient $\mathrm {A} _{1}\mathrm {B} _{1},\,\mathrm {A} _{2}\mathrm {B} _{2},\,\ldots ,\,\mathrm {A} _{n}\mathrm {B} _{n}$ une suite continue d’arcs appartenant aux courbes (1) et dont les extrémités $\mathrm {A} _{1}\mathrm {A} _{2}\ldots \mathrm {A} _{n},$ $\mathrm {B} _{1}\mathrm {B} _{2}\ldots \mathrm {B} _{n},$ forment deux courbes continues $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '.$

Soient $\mathrm {A} _{i}\mathrm {B} _{i},\,\mathrm {A} _{i+1}\mathrm {B} _{i+1}$ deux de ces arcs infiniment peu différents l’un de l’autre. Soient $x,\,y$ les coordonnées du point $\mathrm {A} _{i},$ $x+\delta x,$ $y+\delta y$ celles du point infiniment voisin $\mathrm {A} _{i+1}.$

Soient $\mathrm {J} '$ l’action relative à l’arc $\mathrm {A} _{i}\mathrm {B} _{i}$ et $\mathrm {J} '\!+\delta \mathrm {J} '$ l’action relative à l’arc $\mathrm {A} _{i+1}\mathrm {B} _{i+1}.$

Si $\alpha$ est l’angle que fait avec l’axe des $x,$ la tangente à la courbe $\mathrm {A} _{i}\mathrm {B} _{i}$ qui est une courbe (1), et si les deux courbes $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '$ satisfont à l’équation différentielle

(7)

$\mathrm {F} (\cos \alpha \,\delta x+\sin \alpha \,\delta y)+\omega \,(x\,\delta y-y\,\delta x)=0,$

on aura

$\delta \mathrm {J} '=0$

et, par conséquent,

$(\mathrm {A} _{1}\mathrm {B} _{1})=(\mathrm {A} _{2}\mathrm {B} _{2})=\ldots =(\mathrm {A} _{n}\mathrm {B} _{n}).$

Les courbes définies par l’équation (7) peuvent donc jouer le rôle que jouaient dans le numéro précédent, les trajectoires orthogonales des courbes (1).