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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.

membre est nulle. En effet, cette valeur moyenne s’obtiendra en conservant dans la série (8) les termes indépendants de $t,$ c’est-à-dire tels que

$p+qn=0.$

J’ai dit que $|q|$ ne pouvait surpasser 3 ; j’aurais pu ajouter que notre second membre étant un polynôme entier et homogène de degré 3 en $\xi _{0},\,\xi _{0}'$ et $\eta _{0}',$ si l’on considère $\xi _{0}$ comme de degré 2, ne peut contenir $\xi _{0}'$ et $\eta _{0}'$ qu’à un degré impair, c’est-à-dire que $q$ doit être impair et ne peut prendre que l’une des valeurs ±1 ou ±3.

On ne peut donc avoir

$p+qn=0$

que si le dénominateur de $n$ est égal à 1 ou à 3.

Nous exclurons la première hypothèse qui ferait de $n$ un nombre entier, mais il nous reste deux cas à considérer :

1^o Le dénominateur de $n$ n’est pas égal à 3. Dans ce cas, le second membre ayant sa valeur moyenne nulle, l’équation nous donnera immédiatement $\xi _{1}$ par une simple quadrature ; alors $\xi _{1}$ est déterminé à une constante près que j’appelle $\gamma _{1},$, et cette constante reste indéterminée jusqu’à nouvel ordre ; il est à remarquer qu’il en est de même de $\varpi .$

2^o Le dénominateur de $n$ est égal à 3. Alors, pour que l’équation soit intégrable, il faut rendre la valeur du second membre nulle ; nous disposerons pour cela de la constante $\varpi .$

Soit $[\Theta _{1}]$ la valeur moyenne de $\Theta _{1}\,;$ remarquons que l’on a

$-n\left[{\frac {d\Theta _{1}}{d\eta _{0}}}\right]={\frac {d[\Theta _{1}]}{d\varpi }}\,;$

nous déterminerons donc $\varpi$ par l’équation

(9)

${\frac {d[\Theta _{1}]}{d\varpi }}=0,$

et une quadrature nous donnera ensuite $\xi _{1},$ à une constante près $\gamma _{1}.$

Prenons maintenant la première équation (7) ; nous pourrons raisonner sur elle de la même manière. Seulement comme ${\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}}}$ n’est plus un polynôme du troisième, mais du premier ordre, et que $n$