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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.

En d’autres termes, nous aurons changé $\varpi$ en

$\varpi +2\pi (nh-h').$

Mais nous pouvons toujours choisir les entiers $h$ et $h'$ de telle façon que

$nh-h'={\frac {1}{k+2}}\cdot$

On ne trouve donc pas une solution réellement nouvelle en changeant $\varpi$ en $\varpi +{\frac {2\pi }{k+2}}\cdot$ C. Q. F. D.

Nous n’avons donc que deux solutions réellement distinctes, correspondant aux deux valeurs suivantes de $\varpi$

$\varpi _{0},\quad \varpi _{0}+{\frac {\pi }{k+2}}\cdot$

Il nous reste à déterminer les constantes $\varepsilon ^{2}\xi _{0}$ et $\varepsilon ^{2}u_{0}\,;$ pour cela nous nous servirons des équations qui lient ces deux constantes à $\lambda$ et à $\mu .$ Dans les questions que l’on a habituellement à traiter, on n’a qu’un seul paramètre arbitraire et nous n’en avons introduit deux que pour la commodité de l’exposition. Il conviendra donc de supposer $\lambda$ et $\mu$ liés par une relation, par exemple $\lambda =\mu .$

Le développement de $\lambda$ et celui de $\mu$ suivant les puissances de $\varepsilon ^{2}\xi _{0}$ et $\varepsilon {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}$ commence en général par des termes en $\varepsilon ^{2}\xi _{0}$ et en $\varepsilon ^{2}u_{0};$ (si l’on met à part le cas où le dénominateur de $n$ est égal à 3).

Si donc on suppose $\mu =\lambda ,$ on tirera de là $\varepsilon ^{2}\xi _{0}$ et $\varepsilon {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}$ développés suivant les puissances de ${\sqrt {\lambda }}\,;$ et, de deux choses l’une, ou bien les coefficients du développement suivant les puissances de ${\sqrt {\lambda }}$ seront réels, ou bien au contraire ce seront les coefficients du développement suivant les puissances de ${\sqrt {-\lambda }}$ qui seront réels.

Dans le premier cas, le problème comportera deux solutions réelles pour $\lambda >0$ et n’en comportera aucune pour $\lambda <0\,;$ dans le second cas, ce sera le contraire.