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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.

respondent deux solutions périodiques, puisque l’on tire des relations entre $\lambda ,\,\mu ,$ $\varepsilon ^{2}\xi _{0}$ et $\varepsilon {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}$ deux systèmes de valeurs pour les inconnues $\varepsilon ^{2}\xi _{0}$ et $\varepsilon {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}.$ Il n’en est rien cependant. Nous pouvons en effet sans restreindre la généralité supposer ${\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}$ positif ; car nous ne changeons rien à nos formules en changeant ${\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}$ en $-{\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}$ et $\varpi$ en $\varpi +\pi .$

Or, de nos deux systèmes de valeurs il n’y en a qu’un pour lequel ${\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}$ soit positif.

Donc :

Deux solutions périodiques réelles du deuxième genre pour $\lambda >0$ (ou pour $\lambda <0$).

Aucune solution du deuxième genre pour $\lambda <0$ (ou pour $\lambda >0$).

Reprenons les notations du Chapitre XXVIII et, en particulier, du n^o 331.

$\mathrm {U} _{1}$ se réduit à $\rho ^{2}$ et correspond au terme en $x_{1}y_{1}$ qui figure dans $\Theta _{0}.$

$\mathrm {U} _{0}$ se réduit à un facteur constant multiplié par $\rho ^{4},$ correspondant aux termes provenant de $\left[{\frac {d\Theta _{2}}{du_{0}}}\right]$ et $\left[{\frac {d\Theta _{2}}{d\xi _{0}}}\right]\cdot$

Le premier terme de $\mathrm {W}$ qui ne se réduit pas à une puissance de $\mathrm {U} _{1}$ est de la forme

$\rho ^{k+2}\left[\mathrm {A} \cos(k+2)\varphi +\mathrm {B} \right]$

et provient de $\Theta _{k+2}.$

La fonction dont nous avons à étudier les maxima et minima et qui doit jouer le rôle de la fonction

$\mathrm {U} _{0}+z\,\mathrm {U} _{1}=\rho ^{3}f(\varphi )-z\rho ^{2}.$

étudiée à la page 246, cette fonction, dis-je, sera de la forme

$\mathrm {A} \rho ^{k+2}\cos(k+2)\varphi +\mathrm {P} \rho ^{4}-z\rho ^{2},$

$\mathrm {P}$ étant un polynôme entier en $\rho ^{2}$ à coefficients constants.

Nous avons laissé de côté les cas particuliers où le dénominateur de $n$ est égal à 2, 3 ou 4.