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CHAPITRE XXXI.

Il pourrait arriver enfin que $\mathrm {F}$ fût un point singulier de $\mathrm {E}$ plus compliqué qu’un point de rebroussement ordinaire ; je dirais alors que c’est un foyer singulier.

Je ferai seulement observer qu’on ne peut passer d’un foyer en pointe à un foyer en talon que par un foyer singulier ; car, au moment du passage, $\psi (u_{2})$ doit être de l’ordre de $\alpha ^{4}.$

372.Considérons maintenant une solution périodique quelconque ; elle correspondra à une trajectoire $(\mathrm {T} )$ fermée. Soit $\alpha$ l’exposant caractéristique et $\mathrm {T}$ la période. Nous avons vu au Chapitre XXIX comment on parvient à déterminer les foyers cinétiques successifs (n^o 347).

Supposons que $\alpha$ soit égal à ${\frac {2in\pi }{\mathrm {T} }},$ $n$ étant un nombre commensurable dont le numérateur est $p.$ Dans ce cas l’application de la règle du n^o 347 montre que chaque point de $(\mathrm {T} )$ coïncide avec son $2p$^ième foyer.

Si en effet on prend comme au n^o 347 une unité de temps telle que la période $\mathrm {T}$ soit égale à $2\pi ,$ il vient $\alpha =in.$ Si l’on désigne par $\tau _{0}$ la valeur de la fonction $\tau$ au point $\mathrm {M} ,$ soient $\tau _{1},$ $\tau _{2},\,\ldots ,$ $\tau _{2p}$ les valeurs de cette fonction $\tau$ au premier, au second, $\ldots ,$ au $2p$^ième foyer de $\mathrm {M} \,;$ nous aurons d’après la règle du n^o 347,

$\tau _{1}-\tau _{0}={\frac {i\pi }{\alpha }},\quad \tau _{2}-\tau _{0}={\frac {2i\pi }{\alpha }},\quad \ldots ,\quad \tau _{2p}-\tau _{0}={\frac {2pi\pi }{\alpha }}={\frac {2p\pi }{n}}\cdot$

Si $p$ est le numérateur de $n,$ on voit que $\tau _{2p}-\tau _{0}$ est un multiple de $2\pi ,$ c’est-à-dire que $\mathrm {M}$ et son $2p$^ième foyer coïncident.

La trajectoire issue du point $\mathrm {M}$ et infiniment voisine de $(\mathrm {T} )$ viendra donc repasser par le point $\mathrm {M}$ après avoir fait $k+2$ fois le tour de la trajectoire fermée $(\mathrm {T} )$ si $k+2$ est le dénominateur de $n.$

Le point $\mathrm {M}$ est donc son $2p$^ième foyer ; mais on peut se demander à quelle catégorie de foyers il appartient, au point de vue de la classification du numéro précédent.

Adoptons un système de coordonnées analogues au coordonnées polaires de telle sorte que l’équation de la trajectoire fermée $(\mathrm {T} )$ soit

$\rho =1$