les quantités dont augmentent
quand augmente d’une période.
Tout ce que nous avons pu établir au Chapitre III, c’est qu’il existe des solutions périodiques correspondant à des valeurs quelconques de et mais en supposant et nuls.
On peut se demander s’il existe encore ici, comme dans le cas général, des solutions périodiques correspondant à des valeurs quelconques des cinq entiers solutions que je pourrai appeler de deuxième espèce.
386.Ces solutions de deuxième espèce existent-elles ? On sera tout d’abord tenté de répondre affirmativement, en s’appuyant sur des raisons de continuité et en réfléchissant qu’il suffit de modifier très peu la forme de la fonction pour retomber sur des équations canoniques auxquelles s’appliquent les raisonnements du no 42.
Mais alors une difficulté se présente : que deviennent ces solutions quand on annule la quantité que nous avons appelée et qui est proportionnelle aux masses perturbatrices ?
Si les masses perturbatrices sont nulles, les deux planètes suivent les lois de Képler ; les périhélies et les nœuds sont fixes, de sorte que les nombres et ne peuvent avoir, semble-t-il, d’autre valeur que zéro.
Voici comment cette difficulté peut être résolue. Si les masses sont infiniment petites, les deux planètes suivront les lois de Képler, à moins que leur distance ne devienne elle-même à certains moments infiniment petite.
Supposons, en effet, que les deux planètes, d’abord très éloignées l’une de l’autre, décrivent l’une et l’autre une ellipse képlérienne. Il pourra arriver que ces deux ellipses se rencontrent, ou passent très près l’une de l’autre, et cela de telle façon qu’à un certain moment la distance des deux planètes devienne très petite ; à ce moment, leur action perturbatrice mutuelle pourra devenir sensible et les deux orbites subiront des perturbations importantes. Puis les planètes, s’étant de nouveau éloignées l’une de l’autre, décriront de nouveau des ellipses képlériennes.
