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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE DEUXIÈME ESPÈCE.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

je verrais que les $\beta _{i}^{1}$ et les $\beta _{i}^{2}$ sont des fonctions holomorphes des $\gamma _{i}^{1}$ et de $\mu \,;$ il en est de même des $\gamma _{i}^{0}$ et par conséquent des $\beta _{i}^{0}.$

Enfin, pour qu’il y ait un choc entre les instants $t_{2}$ et $t_{0}+\mathrm {T} +\tau ,$ il faut deux conditions que j’écris

$f_{1}''(\beta _{i}^{2})=f_{2}''(\beta _{i}^{2})=0.$

En y remplaçant les $\beta _{i}^{2}$ par leurs valeurs en fonction des $\gamma _{i}^{1}$ et de $\mu$ et faisant ensuite $\mu =0,$ elles deviennent

$\eta _{1}(\gamma _{i}^{1})=\eta _{2}(\gamma _{i}^{1})=0.$

Je pose

${\begin{aligned}\eta _{1}(\gamma _{i}^{1})&=\gamma _{1}^{2}\mu ,&\eta _{2}(\gamma _{i}^{1})&=\gamma _{2}^{2}\mu \,;&\beta _{k}^{2}&=\gamma _{k}^{2}\quad (k=3,\,\ldots ,\,11)\end{aligned}}$

et je vois encore que les $\beta _{i}^{0},$ les $\beta _{i}^{1},$ les $\beta _{i}^{2}$ sont fonctions holomorphes des $\gamma _{i}^{2}$ et de $\mu \,;$ de même les $\beta _{i}^{3}$ sont fonctions holomorphes des $\gamma _{i}^{2}$ de $\mu$ et de $\tau .$

Les relations $\beta _{i}^{3}=\beta _{i}^{0}$ sont donc des égalités dont les deux membres sont holomorphes par rapport aux $\gamma _{i}^{2},$ à $\mu$ et à $\tau .$ La discussion de ces équations se ferait comme au Chapitre III. Elle démontrerait l’existence des solutions de deuxième espèce.

Je ne crois pas devoir insister davantage, car ces solutions s’écartent trop des orbites réellement parcourues par les corps célestes.