que nous appelions jusqu’ici le ième conséquent, il est clair que la courbe envisagée seule sera une courbe invariante.
Deux courbes de la même famille ne peuvent se couper. — En effet, ou bien ces deux courbes aboutiront à un même point périodique, au point par exemple ; ces deux courbes coïncideront (puisque par ne passe, comme courbe de la première famille, que avec son prolongement ), il s’agit alors de savoir si une courbe asymptotique peut avoir un point double ; la question a été résolue négativement (no 309, page 185).
Ou bien ces deux courbes aboutiront à deux points périodiques d’un même système périodique, par exemple, aux deux points et Si deux courbes qui seraient alors et avaient un point commun le ième antécédent de devrait être à la fois pour très grand très voisin de parce que appartiendrait à et très voisin de parce que appartiendrait à Cela est encore absurde.
Ou bien enfin les deux courbes aboutiraient à deux points appartenant à deux systèmes périodiques différents. Supposons par exemple que les deux courbes soient de la première famille et que soit leur point d’intersection.
Le ième antécédent de pour très grand, devrait être à la fois très voisin d’un des points du premier système périodique et d’un des points du second système ; cela est encore impossible.
Au contraire, il n’y a pas de raison pour que deux courbes asymptotiques de familles différentes ne se coupent pas.
Soient et deux solutions périodiques Instables ; et les trajectoires fermées correspondantes, et les systèmes périodiques correspondants.
Soient et deux surfaces asymptotiques passant respectivement par et et coupant le demi-plan suivant deux courbes asymptotiques et l’une de la première, l’autre de la deuxième famille.
Qu’arrivera-t-il si et ont un point commun Les deux surfaces et se couperont suivant une trajectoire qui correspondra à une solution remarquable La trajectoire appartiendra à deux surfaces asymptotiques ; de sorte que pour elle se rapprochera beaucoup de et que pour elle se
