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CHAPITRE XXXIII.
de 
en 
et de en 
Suivant que la direction 
sera à
droite ou à gauche de 
le point d’intersection sera de la
première ou de la deuxième catégorie.
Cela posé, soit 
un arc de la première famille, coupé
en 
et 
par un arc 
de la deuxième famille. À quelque
catégorie qu’appartiennent et 
l’ensemble des deux arcs
formera une courbe fermée. Si les deux arcs n’ont
pas d’autre point commun que leurs extrémités, cette courbe
fermée n’a pas de point double et limite une aire 
Si les deux
arcs avaient d’autres points communs que leurs extrémités, et si
par exemple les deux arcs 
se coupaient
en 
on remplacerait les points et par les points
et 
situés entre et et les arcs 
par les
deux arcs 
et 
et l’on continuerait ainsi jusqu’à ce
qu’on arrive à deux arcs n’ayant d’autre point commun que leurs
extrémités.
Supposons donc que les deux arcs limitent une aire D’après
ce que nous venons de voir, l’arc doit couper une infinité
de fois la courbe asymptotique de la seconde famille, il faut donc
que la courbe de la seconde famille pénètre une infinité de fois à
l’intérieur de 
et elle doit en sortir une infinité de fois. Elle ne
peut y pénétrer ou en sortir qu’en coupant car elle ne
peut couper qui fait partie aussi de la courbe de la
seconde famille. Or, il est clair que les points par où elle pénétrera
dans l’aire et ceux par où elle en sortira ne seront pas de la
même catégorie.
Donc entre deux points quelconques d’intersection des deux
courbes, il y en a une infinité d’autres appartenant à la première
catégorie et une infinité d’autres appartenant à la
deuxième catégorie.
Désignons par 
les points de rencontre successifs
de la courbe de La seconde famille et de l’arc
comptés dans l’ordre où on les rencontre en suivant la courbe de
la seconde famille dans le sens positif. Ils seront alternativement
des deux catégories. Étudions l’ordre dans lequel on les rencontre
en suivant l’arc 
