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CHAPITRE XXII.

Après le changement de variables du n^o 237, il deviendra

$\int \mathrm {MJ} \,dx_{1}'\,dx_{2}'\,\ldots \,dx_{n}',$

et $\mathrm {MJ}$ devra être une intégrale des équations (1).

J’en conclus que

${\frac {\Delta '}{\mathrm {M} ^{2}\mathrm {J} ^{2}}},$

c’est-à-dire

${\frac {\Delta }{\mathrm {M} ^{2}}}$

doit être une intégrale des équations (1).

Changements de variables.

253.Quand on change d’une manière quelconque les variables $x_{i}$ sans toucher à la variable $t,$ qui représente le temps, on n’a qu’à appliquer aux invariants intégraux les règles ordinaires du changement de variables dans les intégrales définies simples ou multiples. C’est ce que nous avons déjà fait plusieurs fois.

Mais quand on change la variable $t,$ la difficulté est plus grande. Il aurait même semblé a priori que cette transformation ne dût conduire à aucun résultat.

Et en effet : considérons le système

(1)

$dt={\frac {dx_{1}}{\mathrm {X} _{1}}}={\frac {dx_{2}}{\mathrm {X} _{2}}}=\ldots ={\frac {dx_{n}}{\mathrm {X} _{n}}}\cdot$

Introduisons une nouvelle variable $t_{1}$ définie par la relation

${\frac {dt}{dt_{1}}}=\mathrm {Z} ,$

$\mathrm {Z}$ étant une fonction donnée de $x_{1},$ $x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}.$

Le système (1) deviendra

(2)

$dt_{1}={\frac {dx_{1}}{\mathrm {ZX} _{1}}}={\frac {dx_{2}}{\mathrm {ZX} _{2}}}=\ldots ={\frac {dx_{n}}{\mathrm {ZX} _{n}}}\cdot$

Supposons que les valeurs initiales $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},\,\ldots ,$ $x_{n}^{0}$ représentent les coordonnées d’un certain point $\mathrm {M} _{0}$ de l’espace à $n$ dimensions.