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INVARIANTS INTÉGRAUX.

La première de ces relations nous apprend que $\Phi _{1}$ est une intégrale des équations (1).

253 ter.Soit

$\Phi =\mathrm {const.}$

une intégrale des équations (2) ; la fonction $\Phi$ doit être une forme, c’est-à-dire un polynôme entier et homogène par rapport aux $\xi _{i},$ dont les coefficients dépendent d’ailleurs des $x_{i}$ d’une façon quelconque.

Soit $m$ le degré de ce polynôme. L’expression

$\int {\sqrt[{m}]{\Phi '}}$

(où $\Phi '$ n’est autre chose que $\Phi$ où les $\xi _{i}$ ont été remplacés par les différentielles $dx_{i}$), cette expression, dis-je, sera un invariant intégral des équations (1).

Cela posé, soit $\mathrm {I}$ un invariant quelconque de la forme $\Phi .$

Faisons le changement de variables du n^o 237, les équations (1) deviendront

(1 bis)

${\begin{aligned}{\frac {dy_{i}}{dt}}&=0,&{\frac {dz}{dt}}&=1,\end{aligned}}$

et, si l’on désigne par $\eta _{i}$ et $\zeta$ les variations de $y_{i}$ et $z,$ les équations aux variations de (I bis) se réduiront à

${\frac {d\eta _{i}}{dt}}={\frac {d\zeta }{dt}}=0.$

Avec ces nouvelles variables, $\Phi$ deviendra une forme $\Phi _{0},$ entière, homogène et de degré $m$ par rapport aux $\eta _{i}$ et à $\zeta \,;$ les coefficients peuvent être des fonctions quelconques des $y_{i},$ mais d’après le théorème du n^o 237, puisque nous avons affaire à un invariant intégral, ces coefficients ne peuvent pas dépendre de $z.$

Les $x_{i}$ sont des fonctions des $y$ et de $z,$ et l’on en déduit entre les variations les relations suivantes

(4)

$\xi _{i}=\sum {\frac {dx_{i}}{dy_{k}}}\,\eta _{k}+{\frac {dx_{i}}{dz}}\,\zeta .$

Les $\xi$ sont donc des fonctions linéaires des $\eta$ et de $\zeta$ et le détermi-