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INVARIANTS INTÉGRAUX.

bilinéaires

${\begin{aligned}\Phi &={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'\right)\\\Phi _{1}&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{ik}\left(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'\right)\\\end{aligned}}$

seront des intégrales de (2) et (2 bis).

Le cas le plus intéressant est celui où $n$ est pair ; soit donc $n=2m.$

Considérons la forme

$\Phi -\lambda \Phi _{1}$

et égalons son déterminant à 0. Nous aurons une équation algébrique en $\lambda$ de degré $n=2m\,;$ mais le premier membre de cette équation est un carré parfait, de sorte qu’elle se réduit à une équation d’ordre $m.$ Les $m$ racines

$\lambda _{1},\quad \lambda _{2},\quad \ldots ,\quad \lambda _{m}$

seront, pour la même raison que plus haut, des intégrales des équations (1).

Maintenant $\Phi$ et $\Phi _{1}$ pourront se mettre sous la forme

${\begin{aligned}\Phi &=\sum _{i=1}^{i=m}\lambda _{i}\left(\mathrm {P} _{i}\mathrm {Q} _{i}'-\mathrm {Q} _{i}\mathrm {P} _{i}'\right)\\\Phi _{1}&={\textstyle \sum }\left(\mathrm {P} _{i}\mathrm {Q} _{i}'-\mathrm {Q} _{i}\mathrm {P} _{i}'\right)\\\end{aligned}}$

les $\mathrm {P} _{i}$ et les $\mathrm {Q} _{i}$ étant $2m$ polynômes linéaires par rapport aux $\xi _{i}$ et les $\mathrm {P} _{i}'$ et les $\mathrm {Q} _{i}'$ étant les mêmes polynômes où les $\xi _{m}$ ont été remplacés par les $\xi '.$

Alors les expressions

$\mathrm {P} _{1}\mathrm {Q} _{1}'-\mathrm {Q} _{1}\mathrm {P} _{1}',\quad \mathrm {P} _{2}\mathrm {Q} _{2}'-\mathrm {Q} _{2}\mathrm {P} _{2}',\quad \ldots ,\quad \mathrm {P} _{m}\mathrm {Q} _{m}'-\mathrm {Q} _{m}\mathrm {P} _{m}'$

seront des covariants du système $\Phi ,\Phi _{1}$ et par conséquent des intégrales de (2), (2 bis) auxquelles correspondront des invariants intégraux.

Il y aurait exception si l’équation en $\lambda$ avait des racines multiples.

Si l’on avait, par exemple,

$\lambda _{1}=\lambda _{2}$