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FORMATION DES INVARIANTS.

devenir $\mathrm {F} ,$ comme je l’ai expliqué au Chapitre précédent, $\mathrm {C} _{0}$ et $\mathrm {C} _{1}$ ne varieront pas.

Il résulte de cela que nous aurons

$\mathrm {J} =\int {\textstyle \sum }\,(2x\,dy-py\,dx)+(p-2)t(\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{0}).$

L’intégrale

$\int {\textstyle \sum }\,(2x\,dy-py\,dx)$

n’est donc pas constante quand la figure $\mathrm {F}$ (qui se réduit ici à un arc de courbe) se déforme ; mais ses variations sont proportionnelles au temps.

L’intégrale est constante, si les deux extrémités de l’arc correspondent à une même valeur de la constante des forces vives.

Elle l’est encore, en particulier, si l’arc de courbe est fermé. Cette intégrale est donc ce que j’ai appelé, dans le Chapitre précédent, un invariant relatif.

Mais, si l’on suppose l’arc de courbe fermé, on peut ajouter sous le signe $\textstyle \int$ une différentielle exacte quelconque sans changer la valeur de l’intégrale ; ajouter, par exemple,

${\textstyle \sum }(x\,dy+y\,dx),$

avec un coefficient constant quelconque.

Ainsi les intégrales

${\textstyle \sum }\,y\,dx,\quad {\textstyle \sum }\,x\,dy$

sont aussi des invariants relatifs.

Nous avons vu, au n^o 238, que d’un invariant relatif du premier ordre on peut toujours déduire un invariant absolu du second ordre. L’invariant du second ordre que l’on obtient ainsi n’est autre chose que

$\mathrm {J} _{1}=\int {\textstyle \sum }\,dx\,dy,$

que nous avons étudié plus haut.

Il est un cas où l’expression

${\textstyle \sum }(2x\,dy-py\,dx),$