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CHAPITRE XXIII.

correspondent à une solution périodique, il viendra

(11)

$\mathrm {F} ^{\star }+t\,\mathrm {F} _{1}^{\star }=\mathrm {const.} ,$

où $\mathrm {F} ^{\star }$ et $\mathrm {F} _{1}^{\star }$ sont des fonctions linéaires par rapport aux $\xi$ dont les coefficients sont des fonctions périodiques de $t.$

Voici maintenant comment on peut obtenir toutes les relations de la forme (11) en partant des équations (10).

Considérons deux polynômes $\mathrm {P} _{k},$ le premier se réduisant à une constante, et le second étant du premier degré, le premier étant la dérivée du second. Les équations (10) correspondantes s’écriront

(10 bis)

$\mathrm {A} _{1}={\textstyle \sum }\,\xi _{i}\theta _{i},$

(10 ter)

$\mathrm {A} _{1}+\mathrm {A} _{1}t={\textstyle \sum }\,\xi _{i}\theta _{i}',$

les $\theta _{i}$ et les $\theta _{i}'$ étant périodiques en $t\,;$ on en déduit

${\textstyle \sum }\,\xi _{i}\theta _{i}'-t{\textstyle \sum }\,\xi _{i}\theta _{i}=\mathrm {const.} ,$

ce qui est une relation de la forme (11).

Remarquons encore que l’équation (10 bis), élevée au carré, nous fournit une relation de la forme (8) et que des équations (10 bis) et (10 ter) on peut déduire une relation de la forme (9), à savoir

$\left({\textstyle \sum }\,\xi _{i}\theta _{i}\right)\left({\textstyle \sum }\,\xi _{i}'\theta _{i}'\right)-\left({\textstyle \sum }\,\xi _{i}'\theta _{i}\right)\left({\textstyle \sum }\,\xi _{i}\theta _{i}'\right)=\mathrm {const.}$

260.Appliquons ce qui précède au Problème des trois Corps, et cherchons quel peut être pour ce Problème le nombre maximum des invariants intégraux des diverses sortes étudiées dans le numéro précédent ; à savoir :

Première sorte : invariants linéaires par rapport aux différentielles $dx\,;$

Deuxième sorte : invariants où la fonction sous le signe $\textstyle \int$ est la racine carrée d’un polynôme du second degré par rapport aux différentielles des $x\,;$

Troisième sorte : invariants du second ordre, linéaires par rapport aux produits de différentielles $dx_{i}\,dx_{k}\,;$

Quatrième sorte : invariants de la forme considérée à la fin du