Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/76

64

CHAPITRE XXIII.

Or

$\sum {\frac {d\mathrm {F} }{dy}}{\frac {dy}{d\alpha }}+\sum {\frac {d\mathrm {F} }{dx}}{\frac {dx}{d\alpha }}={\frac {d\mathrm {F} }{d\alpha }},$

donc

(2)

${\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=\left[\mathrm {F} -{\textstyle \sum }\,x\,{\frac {d\mathrm {F} }{dx}}\right]_{\alpha =\alpha _{0}}^{\alpha =\alpha _{1}}\cdot$

Si nous supposons que $\mathrm {F}$ soit homogène de degré $p$ par rapport aux $x,$ il viendra

${\textstyle \sum }\,x\,{\frac {d\mathrm {F} }{dx}}=p\mathrm {F} .$

Soit alors $\mathrm {C}$ la constante des forces vives de telle sorte que l’équation des forces vives s’écrive

$\mathrm {F} =\mathrm {C} .$

Soient $\mathrm {C} _{0}$ et $\mathrm {C} _{1}$ les valeurs de cette constante qui correspondent à $\alpha _{0}$ et à $\alpha _{1}\,;$ il viendra

(3)

${\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=(1-p)(\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{0}).$

Donc $\mathrm {J}$ n’est pas un invariant proprement dit ; mais sa dérivée, par rapport au temps, est constante et, pour nous servir de l’expression définie au numéro précédent, c’est un invariant de la quatrième sorte.

262.Supposons, maintenant que $\mathrm {F}$ présente une autre sorte d’homogénéité.

Partageons les couples de variables conjuguées en deux classes, et désignons, par $x_{i},y_{i}$ les couples de variables conjuguées de la première classe, par $x_{i}',y_{i}'$ les couples de variables conjuguées de la seconde classe.

Je suppose que $\mathrm {F}$ soit homogène d’ordre $p$ par rapport aux $x_{i},$ aux $\left(x_{i}'\right)^{2}$ et aux $\left(y_{i}'\right)^{2},$ de telle sorte que l’on ait

${\textstyle \sum }\,x\,{\frac {d\mathrm {F} }{dx}}+{\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\left(x'{\frac {d\mathrm {F} }{dx'}}+y'{\frac {d\mathrm {F} }{dy'}}\right)=p\mathrm {F} .$

Posons alors

$\mathrm {J} =\int \left[{\textstyle \sum }\,(x\,dy)+{\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\,(x'\,dy'-y'\,dx')\right]$