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USAGE DES INVARIANTS INTÉGRAUX.
267.Nous avons vu plus haut que
(1)
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est un invariant intégral.
Nous allons, pour nous servir de cet invariant, faire un changement
de variables analogue à celui du no 237.
Posons, pour plus de symétrie dans les notations,
![{\displaystyle {\begin{aligned}w_{i}'&=w_{i+2}\quad (i=1,\,2,\,3,\,4),&n_{i}'&=n_{i+2},&\varpi _{i}'&=\varpi _{i+2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1def37414187bfd5ac8e1c4fc4496c2d325aaff7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{0}&=\xi _{1},&\Lambda _{0}'&=\xi _{2}\,;&x_{i}'^{0}&=\xi _{i+2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7e9cbd5483282afa5bc44ebb0442f73875b4749)
Nous avons vu que l’on pouvait développer les
et les
en
séries dépendant des
des
de
et des
c’est-à-dire,
avec nos nouvelles notations, des
et des
Nous pouvons alors prendre pour variables nouvelles les
et
les
et alors les équations différentielles du mouvement prendront
la forme
(2)
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[de même qu’au no 237 les équations (1) devenaient, après le
changement de variables,
![{\displaystyle {\frac {dy_{i}}{0}}={\frac {dz}{1}}=dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e407e6ebed5e39654ea6c87e408d7ed4ae2fd2a)
ainsi que nous l’avons vu].
Les
sont fonctions des
seulement.
Mais il vaut mieux encore prendre d’autres variables ; en effet,
les six
étant fonctions des six
seulement, rien n’empêche, au
lieu des
et des
de prendre comme variables les
et les
de sorte que les équations différentielles deviennent
(3)
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Un invariant intégral du premier ordre prendra la forme
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int \left({\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,dn_{i}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\,dw_{i}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f424a41e7a0c2cb6f5b90eb2b77e1356a31e5a)
les
et les
étant des fonctions des
et des ![{\displaystyle w_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd0f650d2bd33c7ab6ec1f0a25fbf56bef18bb01)