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USAGE DES INVARIANTS INTÉGRAUX.

est une différentielle exacte. J’ajouterai qu’on formera facilement la fonction $\mathrm {U}$ qui peut, par conséquent, être regardée comme une fonction connue des $x_{i}$ et des $y_{i}.$

On a alors

(12)

$\mathrm {S} =3\sum {\frac {d\mathrm {C} }{dn_{i}}}\,w_{i}-{\textstyle \sum }\,xy-\mathrm {U} -\Lambda _{00}\lambda _{1}-\Lambda _{00}'\lambda _{1}'-\sigma _{i}^{01}\tau _{i}.$

Comme dans l’application du procédé du Chapitre XV on est conduit à former la fonction $\mathrm {S} ,$ l’équation (12) nous fournit, sous une forme nouvelle, la vérification cherchée.

Rapport avec un théorème de Jacobi.

269.On sait que Jacobi a démontré au début de ses Vorlesungen über Dynamik que, dans le cas de l’attraction newtonienne, la valeur moyenne de l’énergie cinétique est égale, à un facteur constant près, à la valeur moyenne de l’énergie potentielle, en admettant, bien entendu, que les coordonnées puissent être exprimées par des séries trigonométriques de même forme que celles que nous étudions ici.

Ce théorème de Jacobi se rattache directement à ce qui précède. Les équations du mouvement peuvent s’écrire

${\begin{aligned}m_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}&=y_{i},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{i}}},\end{aligned}}$

d’où

$\sum {\frac {y_{i}^{2}}{2m_{i}}}-\mathrm {V} =\mathrm {C} .$

Alors $-\mathrm {V}$ représente l’énergie potentielle, $\mathrm {C}$ l’énergie totale, et

$\sum {\frac {y_{i}^{2}}{2m_{i}}}$

l’énergie cinétique.

D’autre part, $\mathrm {V}$ étant homogène de degré −1, on aura

${\begin{aligned}-\mathrm {V} =\sum {\frac {d\mathrm {V} }{dx_{i}}}\,x_{i}&={\textstyle \sum }\,x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dt}},\\\sum {\frac {y_{i}^{2}}{2m_{i}}}&={\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\,y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}\cdot \end{aligned}}$