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CHAPITRE XXIV.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

ou, plus généralement, de trois fonctions quelconques $\omega _{1},$ $\omega _{2},$ $\omega _{3}$ de ces trois angles.

Ainsi les $x$ et les $y$ sont fonctions de $w,$ de $a,$ de $e$ et des $\omega .$

On aura alors, en appelant $\mathrm {C}$ la constante des forces vives et $n$ le moyen mouvement,

$\sum \left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dw}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dw}}\right)=3{\frac {d\mathrm {C} }{dn}}$

et, d’autre part, les expressions

${\begin{aligned}\sum &\left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{da}}\,\,+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{da}}\right)\\\sum &\left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{de}}\,\,+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{de}}\right)\\\sum &\left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{d\omega _{k}}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{d\omega _{k}}}\right)\end{aligned}}$

doivent être indépendantes de $w.$

Quelques-uns de ces énoncés étaient évidents d’avance et ne nous fournissent pas de vérification nouvelle.

En effet, les ${\frac {dx_{i}}{d\omega _{k}}}$ sont des fonctions linéaires des $x_{i}$ dont les coefficients dépendent des $\omega$ et qui sont telles que

${\textstyle \sum }_{i}x_{i}\,{\frac {dx_{i}}{d\omega _{k}}}=0.$

Il en résulte que nous pouvons écrire l’identité suivante

$\alpha _{1}{\frac {dx_{1}}{d\omega _{k}}}+\alpha _{2}{\frac {dx_{2}}{d\omega _{k}}}+\alpha _{3}{\frac {dx_{3}}{d\omega _{k}}}=\left|{\begin{array}{ccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\\varphi _{1}^{k}&\varphi _{2}^{k}&\varphi _{3}^{k}\end{array}}\right|.$

les $\alpha$ étant des constantes quelconques et les $\varphi _{i}^{k}$ des fonctions données des $\omega \,;$ on aura de même

$\alpha _{1}{\frac {dy_{1}}{d\omega _{k}}}+\alpha _{2}{\frac {dy_{2}}{d\omega _{k}}}+\alpha _{3}{\frac {dy_{3}}{d\omega _{k}}}=\left|{\begin{array}{ccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\\varphi _{1}^{k}&\varphi _{2}^{k}&\varphi _{3}^{k}\end{array}}\right|.$

Il en résulte que l’on a

$\sum \left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{d\omega _{k}}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{d\omega _{k}}}\right)=\left|{\begin{array}{ccc}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\\varphi _{1}^{k}&\varphi _{2}^{k}&\varphi _{3}^{k}\end{array}}\right|.$